Съдържание

НОФ 1999, Национално състезание — Задача 1. Еластичен удар между клин и топче

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1999

Национално състезание по ФИЗИКА Шумен 1999 година — ТЕМА · 10 т.

Условие

По гладка хоризонтална равнина се движи със скорост $v_1$ клин с маса $M$ и ъгъл $\alpha$ (фиг. 1). Клинът се удря в неподвижно топче с маса $m$ . Ударът е челен и абсолютно еластичен. Приемете, че при удара клинът не получава импулс във вертикално направление. Всички сили на триене се пренебрегват.

Клин с маса M и ъгъл α при върха, който се движи надясно със скорост v₁ по хоризонтална равнина към неподвижно топче с маса m. — Фиг.1.

а) Определете големините на скоростите на клина $u_1$ и на топчето $u_2$ непосредствено след удара. [6 т.]

б) За случая, когато $M = m$ и $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , пресметнете интервала от време $t$ , след който топчето отново ще се удари в клина. [4 т.]

Отговори

Решение

а) Тъй като няма триене, по време на удара клинът действа на топчето само със сила на нормална реакция и топчето получава импулс, насочен перпендикулярно на клина, т.е. скоростта му $u_2$ е насочена под ъгъл $\alpha$ спрямо вертикалата. [1 точка]

По хоризонталната ос $x$ на системата клин-топче не действат външни сили и $x$ -компонентата на импулса се запазва. Запазва се и кинетичната енергия

Mv_1 = Mu_1 + mu_2\sin\alpha\ ;\qquad \frac{Mv_1^{2}}{2} = \frac{Mu_1^{2}}{2} + \frac{mu_2^{2}}{2}

[2 точки]

От горните две уравнения определяме скоростите на клина и на топчето след удара

u_1 = v_1\left(\frac{1-\frac{m}{M}\sin^2\alpha}{1+\frac{m}{M}\sin^2\alpha}\right);\quad u_2 = \frac{2v_1\sin\alpha}{1+\frac{m}{M}\sin^2\alpha}

[3 точки]

б) Ще определим компонентите на относителната скорост $w_2$ на топчето спрямо клина

w_{2x} = u_{2x} - u_1 = v_1\frac{\left(2+\frac{m}{M}\right)\sin^2\alpha - 1}{1+\frac{m}{M}\sin^2\alpha};\qquad w_{2y} = u_{2y} = u_2\cos\alpha = \frac{2v_1\sin\alpha\cos\alpha}{1+\frac{m}{M}\sin^2\alpha}

При $m = M$ и $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ се получава: $w_{2y} = v_1\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $w_{2x} = 0$ , т.е. спрямо клина топчето се движи вертикално нагоре. Търсеното време между първия и втория удар е

t = \frac{2w_{2y}}{g} = \frac{v_1\sqrt{2}}{g}

[4 точки]

Оригинал в Архива: 1999_ns_shumen.pdf