Съдържание

НОФ 2002, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 1

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2002

Национален кръг на XXXIV олимпиада по физика · 26 май 2002 г. · 15 т.

Условие

Следващите подусловия са независими едно от друго.

а) Стълба се състои от две еднакви рамена, които могат да се въртят свободно едно спрямо друго (фиг. 1). Коефициентът на триене между краищата на стълбата и пода е $k$ . Под какъв най-голям ъгъл $\alpha$ спрямо вертикалата могат да бъдат наклонени рамената така, че стълбата да се намира в равновесие? Приемете, че масата е разпределена равномерно по дължината на двете рамена. [6 т.]

б) Средната плътност на веществото в неутронна звезда е $\rho=1{,}0\cdot10^{17}\ \mathrm{kg/m^3}$ . С какъв период $T$ би обикалял спътник по кръгова орбита близо до повърхността на неутронната звезда? Гравитационната константа е $G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ . [4 т.]

в) Материална точка с маса $m=1\ \mathrm{kg}$ се движи праволинейно в направление на оста $x$ по закона: $x(t)=3t^3-2t^2-2t$ , където времето $t$ е изразено в секунди, а координатата $x(t)$ — в метри. Намерете:

• общата работа $A$ на всички сили, приложени върху материалната точка от момента $t_1=0\ \mathrm{s}$ до момента $t_2=1\ \mathrm{s}$ ;

• момента $t_0$ , в който резултантната на всички сили, приложени върху точката, е равна на нула. [5 т.]

Решение

а) На фиг. 3 са изобразени силите, които действат върху двете рамена на стълбата. За да бъде дадено рамо в равновесие, е необходимо силите да се уравновесяват:

N_1=mg;\qquad N_2=f.

Другото условие за равновесие е да се уравновесяват въртящите моменти на силите спрямо произволна точка в пространството, напр. долния край на даденото рамо:

N_2l\cos\alpha=mg\frac l2\sin\alpha.

Оттук намираме

f=\frac{mg\operatorname{tg}\alpha}{2}.

В състояние на равновесие $f\leq kN_1$ , откъдето получаваме

\operatorname{tg}\alpha\leq2k\quad(\text{или }\alpha\leq\operatorname{arctg}(2k)).

Коментар: Посоките на силите на реакция, с които си взаимодействат двете рамена, могат да бъдат определени по следния начин. Първо, от III принцип на Нютон следва, че двата вектора са противоположни, т.е. лежат върху една права. Второ, поради еднаквите маси на двете рамена следва, че векторите на силите, приложени върху тях, са „огледални“ образи един на друг спрямо вертикалната ос, преминаваща през върха на стълбата. От двете условия еднозначно следва, че силите на реакция между двете рамена са насочени хоризонтално.

б) При обикаляне по кръгова орбита

\frac{mv^2}{R}=G\frac{Mm}{R^2},

където $m$ е масата на спътника, а $M$ — масата на звездата. Тъй като $v=2\pi R/T$ и $M=\frac43\pi R^3\rho$ , получаваме

T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}=\sqrt{\frac{3\cdot3{,}14}{6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\cdot1{,}0\cdot10^{17}\ \mathrm{kg\,m^{-3}}}}\approx1{,}2\cdot10^{-3}\ \mathrm{s}.

в) Скоростта на точката е първа производна на нейната координата по времето

v(t)=x'(t)=9t^2-4t-2.

В началния имаме $v_1=v(0)=-2\ \mathrm{m/s}$ , а в крайния $v_2=v(1)=3\ \mathrm{m/s}$ .

Работата на външните сили е равна на промяната на кинетичната енергия на точката:

A=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}=2{,}5\ \mathrm{J}.

Ускорението на точката е първа производна на скоростта по времето:

a(t)=v'(t)=18t-4.

От II принцип на Нютон $F=ma$ следва, че резултантната на външните сили е нула, когато ускорението на точката е нулево, т.е. в момента

t_0=2/9\ \mathrm{s}\approx0{,}22\ \mathrm{s}.

Коментар: Много от участниците използваха непосредствено дефиницията на работа на променлива сила, като свеждаха решението на т. а) до едно обемисто упражнение по интегрално смятане.

Оригинал в Архива: 2002_zad1.jpg · допълнителни данни: 2002_zad2.jpg · допълнителни данни: 2002_resh1.jpg · допълнителни данни: 2002_resh2.jpg · допълнителни данни: 2002_resh3.jpg