Съдържание

НОФ 2004, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2004

ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА. ТЕМА за Областния кръг на олимпиадата по физика. 10. –12. клас, 27 март 2004 година · 27 март 2004 г.

Условие

Махало: топче на нишка с дължина ℓ, окачена на таван; нишката е отклонена на ъгъл α₀ от вертикалата (пунктир), долу пунктирно кръгче за равновесното положение и дъгова стрелка. — Фиг. 1.

Топче A, държано от хоризонтална нишка (сила T) към стена вляво и от наклонена нишка (сила T_A) към тавана, отклонена на ъгъл α₀ от вертикалата (пунктир). — Фиг. 2а.

Ножица прерязва хоризонталната нишка; махалото тръгва от положение A, минава през равновесното положение B (под точката на окачване) и достига C при отклонение α₀ от другата страна на вертикалата. — Фиг. 2б.

Част А. Тежко топче е окачено на безтегловна нишка с дължина $\ell = 1\ \mathrm{m}$ и се люлее като махало (фиг.1). Определете скоростта $v$ , с която топчето преминава през равновесното си положение, ако максималният ъгъл на отклонение на махалото е $\alpha_0 = 37^{\circ}$ ( $\sin 37^{\circ} = 0{,}6$ ; $\cos 37^{\circ} = 0{,}8$ ). Приемете земното ускорение за $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха се пренебрегва.

Част Б. Тежко топче е завързано с две безтегловни нишки, както е показано на фиг.2а. Едната нишка е хоризонтална, а другата е отклонена на ъгъл $\alpha_0$ от вертикалата.

Част Б а) Определете отношението $T/T_A$ на силите на опъване на двете нишки (фиг.2а).

Прерязват хоризонталната нишка и топчето започва да се движи като махало (фиг.2б).

Част Б б) Определете отношението $T_C/T_A$ , където $T_C$ е силата на опъване на нишката на махалото в положение $C$ , а $T_A$ е силата на опъване на същата нишка преди прерязването на другата нишка.

Част Б в) При какви стойности на ъгъла $\alpha_0$ силата на опъване $T_B$ на нишката на махалото при преминаването му през равновесното положение $B$ е равна по големина на силата на опъване $T_A$ преди да се пререже хоризонталната нишка?

Отговори

Решение

Част А. От закона за запазване на механичната енергия следва равенството

\frac{mv^2}{2} = mgh, \qquad \text{.......... 1 точка}

където $m$ е масата на топчето. Максималната височина $h$ , на която топчето се издига над равновесното си положение, е $h = \ell(1 - \cos\alpha_0)$ , където $\ell$ е дължината на нишката.

След заместване на $h$ определяме скоростта

v = \sqrt{2g\ell(1 - \cos\alpha_0)} = 2\ \mathrm{m/s} \qquad \text{.......... 1 точка}

Част Б а) Резултантната на двете сили на опън, с които нишките действат на топчето, трябва да уравновесява силата на тежестта $mg$ , т.е. трябва да е насочена вертикално нагоре. От правоъгълния триъгълник на фиг.1 определяме

T/T_A = \sin\alpha_0 \qquad \text{...... 1точка}

б) Разлагаме силата на тежестта на две компоненти: успоредна на нишката (нормална компонента) и перпендикулярна на нишката (тангенциална спрямо траекторията на топчето) компонента. Тъй като в точка $C$ топчето е в покой, неговото нормално (центростремително) ускорение е нула. Следователно

T_C = mg\cos\alpha_0 \qquad \text{.......... 1 точка}

Силата $T_A$ определяме от правоъгълния триъгълник на фиг.1:

T_A = mg/\cos\alpha_0 \qquad \text{.......... 1 точка}

Търсеното отношение е

T_C/T_A = \cos^2\alpha_0 \qquad \text{.......... 1 точка}

в) В точка $B$ двете сили ( $T_B$ и $mg$ ), които действат на топчето (фиг. 3), са насочени в направлението на нормалата към траекторията (окръжност с радиус $\ell$ ). От втория принцип на механиката следва равенството

T_B - mg = ma_n = \frac{mv^2}{\ell} \qquad \text{.......... 1 точка}

Скоростта $v$ на топчето се определя както в Част А. За силата $T_B$ се получава

T_B = mg(3 - 2\cos\alpha_0) \qquad \text{.......... 1 точка}

Приравняваме силите

T_A = mg/\cos\alpha_0 \ \text{ и } \ T_B = mg(3 - 2\cos\alpha_0)

и получаваме квадратно уравнение за $\cos\alpha_0$

2\cos^2\alpha_0 - 3\cos\alpha_0 + 1 = 0,

чиито корени са

\alpha_{01} = 0 \qquad \text{.......... 1 точка}

\alpha_{02} = 60^{\circ} \qquad \text{.......... 1 точка}

Забележка. Учениците, които не са правили пресмятания, но са съобразили, че една от търсените стойности е $\alpha_{01} = 0$ , също получават 1 точка.

Топче, държано от хоризонтална нишка и наклонена нишка под ъгъл α₀ от вертикалата; силите T (хоризонтално), T_A (по наклонената нишка) и mg (надолу), и векторният триъгълник от T, T_A и mg с ъгъл α₀. — Фиг. 1.

Махало в крайно положение C при отклонение α₀; сила T_C по нишката, тежестта mg разложена на компонента mgcosα₀ по нишката и тангенциална компонента; пунктирна дъга на траекторията и пунктирни положения на топчето. — Фиг. 2.

Махало с дължина ℓ във вертикално положение B: сила T_B нагоре по нишката, mg надолу, скорост v хоризонтално, пунктирна дъга на траекторията. — Фиг. 3.

Полезни формули

Полезни формули,

които можете да използвате при решаването на задачите

Движението на материална точка с маса $m$ със скорост $v$ по окръжност с радиус $r$ се извършва под действието на центростремителна сила с големина

F = \frac{mv^2}{r}.

Енергията на електричното поле на кондензатор с капацитет $C$ , който е зареден до напрежение $U$ , е

W_E = \frac{1}{2}CU^2.

Енергията на магнитното поле на ток $I$ , който тече през намотка с индуктивност $L$ , е

W_B = \frac{1}{2}LI^2.

Оригинал в Архива: 10-12.pdf