Съдържание

НОФ 2005, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Шайба, хлъзгаща се по сферична повърхност (две независими подусловия).

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2005

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. Олимпиада по физика. Областен кръг, 27 март 2005 г. Тема за 10-12 клас · 27 март 2005 г. · 10 т.

Условие

Първо подусловие. Малка шайба с маса $m$ се хлъзга без триене по повърхността на неподвижно закрепено полукълбо с радиус $R$ (фиг. 1, а). Първоначално шайбата е била неподвижна в най-високата точка на полукълбото. Земното ускорение е $g$ . Намерете:

Неподвижно полукълбо с радиус R; шайба с маса m на повърхността, ъгъл θ0 от вертикалата, височина h на точката на откъсване, скорост v0 по допирателната, траектория на падане и разстояние l от центъра на основата до точката на падане; вдясно стрелка на земното ускорение g. — Фиг. 1, а

Тяло с маса M с вдлъбната полусферична повърхност с радиус R върху хоризонтална равнина; шайба m в горния край; в най-ниската точка шайбата има скорост v1 наляво, а тялото — скорост v2 надясно; надпис „равнина“. — Фиг. 1, б

а) зависимостта на скоростта на шайбата $v$ от ъгъла $\theta$ (вж. фиг. 1, а). [1 т.]

б) височината $h$ , на която шайбата се откъсва от повърхността на полукълбото. [2 т.]

в) скоростта $v_0$ на шайбата в момента на нейното откъсване от повърхността [1 т.]

г) разстоянието $l$ между центъра на основата на полукълбото и точката на падане на топчето. [3 т.]

Второ подусловие. Малка шайба с маса $m$ е поставена в най-горната част на вдлъбнатата полусферична повърхност с радиус $R$ на тяло с маса $M$ (вж. фиг.1б). Шайбата започва да се хлъзга без триене. От своя страна, тялото се движи без триене по хоризонталната равнина. Земното ускорение е $g$ . Намерете:

д) скоростите $v_1$ и $v_2$ на шайбата и тялото спрямо равнината, когато шайбата преминава през най-ниската точка на вдлъбнатата повърхност. [3 т.]

Отговори

Решение

Първо подусловие.

а) Зависимостта на скоростта на шайбата $v$ от ъгъла $\theta$ можем да намерим използвайки закона за запазване на механичната енергия. В най-високата точка на полукълбото енергията на шайбата е $= mgR$ . В положение описващо се с ъгъл $\theta$ , нейната енергия е $E = mgR\cos\theta + \dfrac{mv^2}{2}$ . Двете енергии са равни:

mgR = mgR\cos\theta + \frac{mv^2}{2} \qquad (1)

v = \sqrt{2gR(1-\cos\theta)} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (2)

б) шайбата ще се откъсне от повърхността на полукълбото, когато реакцията на опората $N$ , действаща на шайбата от повърхността на полукълбото, стане нула. Тъй като шайбата се движи по окръжност, на нея трябва да ѝ действа центростремително ускорение, равно на $\dfrac{v^2}{R}$ . Силата, създаваща това ускорение е сума на реакцията на опората $N$ и проекцията на силата на тежестта $mgR\cos\theta$ :

mg\cos\theta - N = \frac{mv^2}{R}, \text{ при } N = 0

\frac{mv^2}{R} = mg\cos\theta_0, \text{ откъдето}

v = \sqrt{gR\cos\theta_0} \qquad (3)

Приравнявайки (2) и (3)

\sqrt{2gR(1-\cos\theta_0)} = \sqrt{gR\cos\theta_0}, \text{ откъдето намираме, че}

\cos\theta_0 = \frac{2}{3} \qquad (4)

Следователно височината $h$ е:

h = R\cos\theta_0 = \frac{2}{3}R \qquad \textbf{[2 т]} \qquad (5)

в) скоростта $v_0$ , на шайбата в момента на нейното откъсване от повърхността намираме като заместим (4) в (3):

v = \sqrt{gR\cos\theta_0} = \sqrt{\frac{2gR}{3}} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (6)

г) разстоянието $l$ между центъра на основата на полукълбото и точката на падане на топчето се намира написвайки законите за движение на шайбата след нейното откъсване от повърхността на полукълбото. Тя се движи единствено под действие на земното ускорение, т.е. като тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта. По хоризонталата уравнението е:

x = x_0 + v_{0x}t \qquad (7)

По вертикалата уравнението е:

y = y_0 - v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} \qquad (8)

$t$ може да се получи от (7) и да се замести в (8) при което се получава:

y = y_0 - \frac{v_{0y}(x-x_0)}{v_{0x}} - \frac{g(x-x_0)^2}{2v_{0x}^{\,2}} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (9)

В нашия случай $v_{0x} = v_0\cos\theta = \dfrac{2}{3}v_0$ , $v_{0y} = v_0\sin\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{3}v_0$ , $x_0 = \dfrac{\sqrt{5}}{3}R$ , $y_0 = \dfrac{2}{3}R$ и $v_0 = \sqrt{\dfrac{2}{3}gR}$ . Замествайки тези величини в (9) и полагайки за по-лесни пресмятания $x - x_0 = x'$ , получаваме

y = \frac{2}{3}R - \frac{\sqrt{5}}{2}x' - \frac{27}{16}\frac{x'^2}{R} \qquad (10)

Тялото ще падне при $y = 0$ . Тогава $x' = l - x_0$ . Така (10) се свежда до следното квадратно уравнение:

\frac{27}{16}x'^2 + \frac{\sqrt{5}}{2}Rx' - \frac{2}{3}R^2 = 0 \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (11)

Уравнение (11) има само едно положително решение:

x' = \frac{4(\sqrt{23}-\sqrt{5})}{27}R.

Следователно $l = x' + x_0 = \dfrac{4(\sqrt{23}-\sqrt{5})}{27}R + \dfrac{\sqrt{5}}{3}R = \dfrac{4\sqrt{23}+5\sqrt{5}}{27}R \approx 1{,}12R$ [1 т]

Второ подусловие.

д) Тъй като по хоризонталата не действат външни сили, то хоризонталната проекция на импулса на системата шайба-тяло се запазва. В началото на движението импулсът на системата е нула, а когато шайбата се намира в най-ниската точка, той е $Mv_2 - mv_1$ . Следователно

Mv_2 - mv_1 = 0 \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (12)

Тъй като триене няма, в сила е и законът за запазване на механичната енергия. Сравнявайки енергията в същите две положения, получаваме:

mgR = \frac{mv_1^{\,2}}{2} + \frac{Mv_2^{\,2}}{2} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (13)

От последните две уравнения, намираме $v_1$ и $v_2$ . Това може да стане така: от (12) изразяваме $v_2$ :

v_2 = \frac{m}{M}v_1 \qquad (14)

и го заместваме в (13):

mgR = \frac{mv_1^{\,2}}{2} + \frac{M}{2}\left(\frac{m}{M}v_1\right)^2 = \frac{m}{2}v_1^{\,2}\left(1+\frac{m}{M}\right) \qquad (15)

откъдето

v_1 = \sqrt{\frac{2gR}{1+\frac{m}{M}}} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (16)

Използвайки (16) и (14) за $v_2$ получаваме

v_2 = \frac{m}{M}\sqrt{\frac{2gR}{1+\frac{m}{M}}} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (17)

Полукълбо с радиус R, шайба m с ъгъл θ0, височина h, скорост v0, траектория на падане и разстояние l; стрелка на земното ускорение g. — фиг. 1а

Тяло M с вдлъбната полусферична повърхност с радиус R върху равнина; шайба m горе; скорости v1 (наляво) и v2 (надясно); надпис „равнина“. — фиг. 1б

Оригинал в Архива: 10-12.pdf