НОФ 2005, III кръг (национален) — Задача 1

(А) Търкаляща се макара

Макара с външен радиус $R=5{,}0\ \mathrm{cm}$ и радиус на оста $r=2{,}5\ \mathrm{cm}$ е поставена върху хоризонтална равнина (вж. фиг. 1, а). Масата на макарата е $m=100\ \mathrm g$, а инерчният момент спрямо оста на симетрия $O$ — $I=5{,}0\cdot10^{-5}\ \mathrm{kg.m^2}$. Върху оста е навита лека и неразтеглива нишка с дължина $l=50\ \mathrm m$. В началния момент макарата е неподвижна, а свободният край на нишката се намира в най-високата точка на оста. Към нишката е приложена постоянна сила $F=0{,}6\ \mathrm N$, насочена хоризонтално. При това макарата започва да се търкаля без да боксува или да приплъзва. Получете алгебрични изрази и пресметнете числено:

(i) ускорението $a$, с което се движи центърът на макарата; [4 т.]

(ii) кинетичната енергия $E_k$ на макарата в момента, когато нишката се развива изцяло от оста. [6 т.]

(Б) Фотонна ракета (5 т.)

На фиг. 1, б е показана принципна схема на фотонна ракета. В два резервоара се съхраняват еднакви количества горивно вещество и съответното му антивещество (т.е. всичките му атоми са съставени от античастици). Общата начална маса на веществото и антивеществото е $m$. В горивната камера с огледални стени се инжектират еднакви количества вещество и антивещество, които анихилират. Отделените фотони се отразяват от стените на камерата и напускат ракетата в посока, противоположна на посоката й на движение. Собствената маса на ракетата (т.е. след изчерпване на цялото й гориво) е $M$. При какво отношение $\eta=m/M$ ракетата ще се ускори от покой до скорост $v=0{,}9c$, където $c$ е скоростта на светлината?