Съдържание

НОФ 2006, III кръг (национален), вариант 1 — Задача 1. Изменение на периода на въртене на Земята поради приливното триене

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. Национален кръг на Олимпиадата по физика. Теоретична тема, 6 май 2006 г. · 6 май 2006 г. · 15 т.

Условие

Поради силите на триене движението на водата в океаните и моретата при прилив и отлив е съпроводено с отделяне на топлина. Затова механичната енергия на системата Земя-Луна намалява, което води до нарастване на разстоянието $r$ между Земята и Луната и увеличаване на периода на въртене на Земята около нейната ос. За една година разстоянието между Земята и Луната нараства с $\Delta r = 4$ cm.

Разгледайте опростен модел, в който Луната се приема за материална точка с маса $m = 7{,}33.10^{22}$ kg, която се върти около Земята по кръгова орбита с радиус $r_0 = 3{,}84.10^{8}$ m. Земята е твърдо тяло с маса $M = 5{,}98.10^{24}$ kg и инерчен момент $I = 4{,}00.10^{37}$ kg.m $^2$ , което се върти около ос на симетрия, перпендикулярна на орбитата на Луната (вж. фиг. 1). Системата Земя-Луна да се разглежда като затворена система. Приемете, че оста на въртене на Земята не променя ориентацията си, а Луната през цялото време се движи по кръгова орбита.

Гравитационната константа е $\gamma = 6{,}67.10^{-11}$ N.m $^2$ /kg $^2$ .

Кръгова орбита на Луната, изобразена в перспектива като елипса, около Земята в центъра; до Земята е отбелязано въртене около оста с ъглова скорост ω, а Луната е точка върху орбитата със стрелка и означение Ω. — Фиг. 1

а) Пресметнете ъгловата скорост $\Omega$ на орбиталното движение на Луната. [2 т.]

б) Представете ъгловата скорост $\omega$ на въртене на Земята около нейната ос като функция на изменението на разстоянието $\Delta r$ между Земята и Луната. Отчетете, че $\Delta r \ll r_0$ . [4 т.]

в) Представете нарастването $\Delta T$ на периода на въртене на Земята около нейната ос като функция от $\Delta r$ . [2 т.]

г) С колко секунди ще нарасне земното денонощие за една година? [1 т.]

д) Представете изменението $\Delta E$ на механична енергия на системата Земя-Луна като функция от $\Delta r$ . [5 т.]

е) С колко джаула ще намалее механичната енергия на системата Земя-Луна за една година поради приливното триене? [1 т.]

Отговори

Решение

а) Луната се движи по кръгова орбита под действие на гравитационната сила, с която я привлича Земята:

\frac{\gamma mM}{r_0^{\,2}} = m\Omega_0^{\,2} r_0, \qquad (1)

откъдето определяме

\Omega_0 = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_0^{\,3}}} \qquad (2)

…… 1 точка

$\Omega_0 = 2{,}65.10^{-6}\ \mathrm{rad/s}$ …… 1 точка

б) От закона за запазване на момента на импулса на системата Земя-Луна следва равенството

I\omega + mr^2\Omega = I\omega_0 + mr_0^2\Omega_0 \qquad (3)

…… 1 точка

От уравнения (3) и (2) изразяваме $\omega$

\omega = \omega_0 + \frac{m}{I}\sqrt{\gamma M}\left(r_0^{1/2} - r^{1/2}\right) \qquad (4)

…… 1 точка

\begin{aligned} r_0^{1/2} - r^{1/2} &= (r_0^{1/2} - r^{1/2})(r_0^{1/2} + r^{1/2})/(r_0^{1/2} + r^{1/2}) = \\ &= \frac{-\Delta r}{r_0^{1/2} + r^{1/2}} \approx \frac{-\Delta r}{2r_0^{1/2}} \end{aligned} \qquad (5)

…… 1 точка

\omega = \omega_0 - \frac{m}{2I}\sqrt{\frac{\gamma M}{r_0}}\Delta r \qquad (6)

…… 1 точка

в)

\Delta\omega = \omega - \omega_0 = \frac{2\pi}{T} - \frac{2\pi}{T_0} \approx -\frac{2\pi}{T_0^2}\Delta T \qquad (7)

; ( $T_0$ = 24 часа) …. 1 точка

От равенства (6) и (7) получаваме:

\Delta T = \frac{T_0^2 m}{4\pi I}\sqrt{\frac{\gamma M}{r_0}}\Delta r \qquad (8)

…… 1 точка

г) $\Delta T = 44{,}4\ \mu\mathrm{s}$ …… 1 точка

д) Пълната механична енергия на системата Земя-Луна е

E = \frac{I\omega^2}{2} + \frac{mr^2\Omega}{2} - \frac{\gamma mM}{r} = \frac{I\omega^2}{2} - \frac{\gamma mM}{2r} \qquad (9)

…… 2 точки

Заместваме $\omega$ от уравнение (6), полагаме $r = r_0 + \Delta r$ , пренебрегваме члена с $(\Delta r)^2$ и получаваме

E \approx \frac{I\omega_0^2}{2} - \frac{\gamma mM}{2r_0} - \frac{m}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{r_0}}\omega_0\Delta r + \frac{\gamma mM}{2r_0^2}\Delta r \qquad (10)

…… 2 точки

Полагаме $E_0 = \dfrac{I\omega_0^2}{2} - \dfrac{\gamma mM}{2r_0}$ - енергия на системата в началния момент и за изменението на енергията получаваме

\Delta E = E - E_0 = -\frac{m}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{r_0}}(\omega_0 - \Omega_0)\Delta r \qquad (11)

…… 1 точка

е) $\Delta E = -1{,}05.10^{20}\ \mathrm{J}$ …… 1 точка

Оригинал в Архива: th_var1.pdf · официални решения: th_var2_resh.pdf