НОФ 2007, I кръг (общински), 10–12 клас — Задача 4

• А/. 1.41
• Б/. 45 °
• В/. 1 cm

ЗАДАЧА 4: 10 точки

Някои условно приети означения: $\alpha/\alpha_1$ – ъгъл на падане; $\beta/\beta_1$ – ъгъл на пречупване; $\alpha_0$ – граничен ъгъл; h – действителна дълбочина на местоположението на прашинката въглен; $h_1$ – видима дълбочина на прашинката;n – показател на пречупване на леда.

Дадено: $\alpha = 45^{\circ}$; $\beta = 30^{\circ}$; h=1,41cm;

Търси се: А/. n = ?; Б/. $\alpha_0$ = ?; В/. $h_1$ = ?

Решение: А/. Показателят на пречупване на светлината на леда се определя от закона на Снелиус:

(1) $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = n_{21} \Rightarrow (2)\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \dfrac{n_2}{n_1} \Rightarrow (3)\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = n$, доколкото $n_1 \approx 1$ (за въздух).

Тогава (4) $n = \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \dfrac{0{,}7071}{0{,}5000} = 1{,}41$

Б/. Граничният ъгъл на пълно вътрешно отражение за леда се определя от закона на Снелиус:

(5) $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = n_{21} \Rightarrow (6)\dfrac{\sin\alpha_0}{\sin 90^{\circ}} = \dfrac{1}{n} \Rightarrow (7)\dfrac{\sin\alpha_0}{1} = \dfrac{1}{n} \Rightarrow (8)\sin\alpha_0 = \dfrac{1}{1{,}41} \approx 0{,}70$.

Тогава: (9) $\alpha_0 \approx 45^{\circ}$.

В/. На фиг.2 (В) [нечетливо: текстът е закрит от дупка на перфоратор] на лъч, падащ под произволен ъгъл $\alpha_1$, но по направление свързващо окото на наблюдател с точка[нечетливо: закрито от дупка на перфоратор] падане (т.О) върху повърхността на леда. Падащият лъч се пречупва под ъгъл $\beta_1$ и попада в прашинката въглен (т.В). Окото на наблюдателя не вижда прашинката, а нейния образ в т.$B'$ на търсеното разстояние от повърхността на леда $h_1$.

Определянето на $h_1$ е свързано с разглеждане на $\Delta B'C'O$ и $\Delta BCO$:

(10) $\dfrac{B'C'}{h_1} = tg\alpha_1 \Rightarrow (11) h_1 = \dfrac{B'C'}{tg\alpha_1}$;

(12) $\dfrac{BC}{h} = tg\beta_1 \Rightarrow$ (13) $h = \dfrac{BC}{tg\beta_1}$. Но $BC = B'C'$.

Тогава от съвместното решаване на (11) и (13) следва:

(14) $\dfrac{h_1}{h} = \dfrac{tg\beta_1}{tg\alpha_1} = \dfrac{\;\dfrac{\sin\beta_1}{\cos\beta_1}\;}{\;\dfrac{\sin\alpha_1}{\cos\alpha_1}\;} = \dfrac{\sin\beta_1\cos\alpha_1}{\cos\beta_1\sin\alpha_1}$.

В последния израз от закона на Снелиус може да се замени отношението (15) $\dfrac{\sin\beta_1}{\sin\alpha_1} = \dfrac{1}{n}$.

Тогава: (16) $\dfrac{h_1}{h} = \dfrac{1}{n}\dfrac{\cos\alpha_1}{\cos\beta_1} = \dfrac{1}{n}\dfrac{\sqrt{1-\sin^2\alpha_1}}{\sqrt{1-\sin\beta_1}}$.

Този резултат характеризира произволно зададено направление на зрителния лъч. По условие направлението на зрителното възприятие е перпендикулярно на повърхността на плоско – паралелната ледена пластинка, т.е. $\alpha_1 = 0^{\circ}$,следователно и $\beta_1 = 0^{\circ}$. Но $\sin 0^{\circ} = 0$, тогава:

(17) $\dfrac{h_1}{h} = \dfrac{1}{n}\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}} \Rightarrow (18) h_1 = \dfrac{h}{n} = \dfrac{1{,}41\mathrm{cm}}{1.41} = 1\mathrm{cm}$.