Съдържание

НОФ 2007, III кръг (национален) — Задача 1. Търкалящ се обръч

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2007

Задачи от Националната олимпиада по физика, София, 28–29.04.2007 г. · 28 април 2007 г. · 15 т.

Условие

Обръч с нулева начална скорост и въртящ се с ъглова скорост $\omega_0$ е поставен върху наклонена равнина, сключваща ъгъл $\alpha$ с хоризонталата (фиг. 1). Обръчът има маса $m$ и радиус $r$ . Земното ускорение е $g$ .

Фиг. 1. Обръчът върху наклонената равнина.

а) Намерете минималния коефициент на триене при хлъзгане $k_{\min}$ , при който обръчът ще започне да се движи нагоре по наклонената равнина. [1 т.]

Нека коефициентът $k$ на триене при хлъзгане между обръча и равнината да е два пъти по-голям от $k_{\min}$ . Намерете:

б) ускорението $a_\text{хл}$ на центъра на обръча (1 т.) и ъгловото му ускорение $\varepsilon_\text{хл}$ (1 т.), когато обръчът се движи нагоре с хлъзгане;

в) времето $t_\text{хл}$ (2 т.), за което обръчът се движи нагоре с хлъзгане, и изминатият път $s_\text{хл}$ (1 т.) за това време;

г) скоростта $v_1$ в момента, когато хлъзгането изчезва; [2 т.]

д) изминатия път $s_\text{чт}$ от обръча от момента, когато хлъзгането изчезва, до спирането на обръча; [2 т.]

е) отношението $E_\text{вр}/E_0$ на енергията $E_\text{вр}$ , с която обръчът се връща в началното си положение, и началната му енергия $E_0$ ; [2 т.]

ж) Начертайте зависимостта на скоростта $v$ на обръча от времето $t$ от тръгването му до завръщането му в началното си положение. За единица време използвайте $t_\text{хл}$ , а за единица скорост — $v_1$ . Обозначете координатите на важните точки от графиката. [3 т.]

Автор: доц. д-р Мирослав Абрашев

Решение

а) При поставянето на обръча върху наклонената равнина на него ще действат три сили: силата на тежестта $G$ , реакцията на опората $R$ и силата на триене при хлъзгане $F_\text{хл}$ , насочена нагоре. В координатната система, избрана на фиг. 1.1, уравнението на движение изглежда така:

(1.1)\qquad x:\ F_\text{хл}-mg\sin\alpha=ma_\text{хл}

(1.2)\qquad y:\ R-mg\cos\alpha=0.

При хлъзгане силата на триене $F_\text{хл}$ е

(1.3)\qquad F_\text{хл}=kR=kmg\cos\alpha.

За да тръгне нагоре, ускорението трябва да е положително. От (1.1) следва, че

(1.4)\qquad kmg\cos\alpha-mg\sin\alpha=ma_\text{хл}>0.

След опростяване на (1.4) се получава

(1.5)\qquad k>\operatorname{tg}\alpha\ \text{или}\ k_{\min}=\operatorname{tg}\alpha.\quad(1\ \text{т.})

б) При $k=2k_{\min}=2\operatorname{tg}\alpha$ от (1.1) следва

(1.6)\qquad a_\text{хл}=kg\cos\alpha-g\sin\alpha=g\sin\alpha.\quad(1\ \text{т.})

За намиране на ъгловото ускорение $\varepsilon_\text{хл}$ се използва вторият закон на Нютон за въртеливото движение, приложен за ос, минаваща през центъра на масата. Само силата на триене $F_\text{хл}$ има въртящ момент, различен от нула:

(1.7)\qquad M=F_\text{хл}r=I\varepsilon_\text{хл},

откъдето

(1.8)\qquad\varepsilon_\text{хл}=\frac MI=\frac{F_\text{хл}r}{mr^2}=\frac{kmg\cos\alpha\,r}{mr^2}=\frac{2g\sin\alpha}{r}.\quad(2\ \text{т.})

в) Обръчът ще се движи нагоре с хлъзгане, докато скоростта на центъра на масата $v$ и ъгловата скорост $\omega$ удовлетворят условието

(1.9)\qquad v=\omega r.

Скоростта се променя така:

(1.10)\qquad v(t)=a_\text{хл}t,

а ъгловата скорост —

(1.11)\qquad\omega(t)=\omega_0-\varepsilon_\text{хл}t.

В момента $t_\text{хл}$ се удовлетворява (1.9):

(1.12)\qquad a_\text{хл}t_\text{хл}=(\omega_0-\varepsilon_\text{хл}t_\text{хл})r,

откъдето

(1.13)\qquad t_\text{хл}=\frac{\omega_0r}{a_\text{хл}+\varepsilon_\text{хл}r}.\quad(1\ \text{т.})

Използвайки (1.6) и (1.8), се получава

(1.14)\qquad t_\text{хл}=\frac{\omega_0r}{g\sin\alpha+\frac{2g\sin\alpha}{r}r}=\frac{\omega_0r}{3g\sin\alpha}.\quad(1\ \text{т.})

Изминатият път $s_\text{хл}$ за времето $t_\text{хл}$ е

(1.15)\qquad s_\text{хл}=\frac12a_\text{хл}t_\text{хл}^2=\frac12g\sin\alpha\left(\frac{\omega_0r}{3g\sin\alpha}\right)^2=\frac1{18}\frac{\omega_0^2r^2}{g\sin\alpha}.\quad(1\ \text{т.})

г) Скоростта $v_1$ в момента, когато хлъзгането изчезва, е

(1.16)\qquad v_1=a_\text{хл}t_\text{хл}=g\sin\alpha\frac{\omega_0r}{3g\sin\alpha}=\frac{\omega_0r}{3}.\quad(1\ \text{т.})

д) Изминатият път $s_\text{чт}$ от обръча от момента, когато хлъзгането изчезва, до спирането на обръча, може да се намери, използвайки закона за запазване на енергията, понеже силата на триене при покой не извършва работа. Нека обръчът се издига допълнително на височина $h=s_\text{чт}\sin\alpha$ . Тъй като механичната енергия на обръча в момента, когато хлъзгането изчезва, трябва да е равна на механичната енергия в положението на покой, то

(1.17)\qquad\frac{mv_1^2}{2}+\frac{I\omega_\text{хл}^2}{2}=mgh.

След използване на (1.16) и (1.9) се получава

(1.18)\qquad\frac{mv_1^2}{2}+\frac{I\omega_\text{хл}^2}{2}=mv_1^2=mgh=mgs_\text{чт}\sin\alpha,

откъдето

(1.19)\qquad s_\text{чт}=\frac{v_1^2}{g\sin\alpha}=\frac19\frac{\omega_0^2r^2}{g\sin\alpha}.\quad(2\ \text{т.})

е) Тъй като механичната енергия на обръча след като хлъзгането изчезне не се променя, енергията $E_\text{вр}$ , с която обръчът се връща в началното си положение, е равна на енергията в най-горното положение (на покой), където тя е само потенциална. Ако се избере началното положение за нулево ниво на потенциалната енергия, то

(1.20)\qquad E_\text{вр}=mg(s_\text{хл}+s_\text{чт})\sin\alpha=

=mg\frac32s_\text{чт}\sin\alpha=mg\frac32\frac19\frac{\omega_0^2r^2}{g\sin\alpha}\sin\alpha=\frac16m\omega_0^2r^2.\quad(1\ \text{т.})

Тъй като началната енергия е

E_0=\frac{I\omega_0^2}{2}=\frac{mr^2\omega_0^2}{2},

то отношението $E_\text{вр}/E_0$ е

(1.21)\qquad\frac{E_\text{вр}}{E_0}=\frac13.\quad(1\ \text{т.})

ж) Зависимостта на скоростта $v$ (в единици $v_1$ ) на обръча от времето $t$ (в единици $t_\text{хл}$ ) от тръгването му до завръщането му в началното си положение изглежда така

Координатите могат да се изчислят от площите на трите триъгълника, съответно $s_\text{хл}$ , $s_\text{чт}$ и $s_\text{хл}+s_\text{чт}$ . (3 т.)

Графика на скоростта на обръча с всички координати и площи.

Оригинал в Архива: 2007_zad1.jpg · допълнителни данни: 2007_zad2.jpg · допълнителни данни: 2007_resh1.jpg · допълнителни данни: 2007_resh2.jpg · допълнителни данни: 2007_resh3.jpg