НОФ 2008, II кръг (областен), 7. клас — Задача 1

• а) $h = \frac{\rho_{\mathrm{л}}}{\rho_{\mathrm{с}}}a = \frac{0{,}9\ \mathrm{g/cm^3}}{1{,}5\ \mathrm{g/cm^3}}\cdot 10\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{cm}$
• б) $V_1 = V_0 + \frac{\rho_{\mathrm{л}}V_{\mathrm{л}}}{\rho_{\mathrm{в}}} = 1\,l + \frac{0{,}9\ \mathrm{g/cm^3}\cdot 1\,l}{1{,}0\ \mathrm{g/cm^3}} = 1{,}9\,l$
• в) $\rho_1 = \frac{\rho_{\mathrm{с}}V_0 + \rho_{\mathrm{л}}V_{\mathrm{л}}}{V_1} = \frac{1{,}5\ \mathrm{g/cm^3}\cdot 1\,l + 0{,}9\ \mathrm{g/cm^3}\cdot 1\,l}{1{,}9\,l} \approx 1{,}26\ \mathrm{g/cm^3}$

а) при плаване силата на тежестта и Архимедовата сила, действащи на куба, се уравновесяват:

$G = F_{\mathrm{A}}$, $mg = \rho_{\mathrm{с}}a^2hg$, [0,5 точки + 0,5 точки]

$\rho_{\mathrm{л}}a^3g = \rho_{\mathrm{с}}a^2hg$, следователно $h = \dfrac{\rho_{\mathrm{л}}}{\rho_{\mathrm{с}}}a$ [1 точка]

$h = \dfrac{0{,}9\ \mathrm{g/cm^3}}{1{,}5\ \mathrm{g/cm^3}}\,10\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{cm}$ [1 точка]

б) след като леденият куб се разтопи, обемът $V_1$ на сиропа ще е равен на сумата на първоначалния обем $V_0$ на сиропа и обема на водата, получена от разтопения лед. [1 точка]

$V_1 = V_0 + \dfrac{m_{\mathrm{в}}}{\rho_{\mathrm{в}}} = V_0 + \dfrac{\rho_{\mathrm{л}}V_{\mathrm{л}}}{\rho_{\mathrm{в}}}$ [1 точка]

$V_1 = 1l + \dfrac{0{,}9g/cm^3\cdot 1l}{1{,}0g/cm^3} = 1{,}9l$ [1 точка]

в) плътността $\rho_1$ на сиропа след като леденият куб се разтопи ще е равна на отношението на цялата маса на разтвора към целия му обем: [1 точка]

$\rho_1 = \dfrac{\rho_{\mathrm{с}}V_0 + \rho_{\mathrm{л}}V_{\mathrm{л}}}{V_1}$ [2 точки]

$\rho_1 = \dfrac{1{,}5g/cm^3\cdot 1l + 0{,}9g/cm^3\,1l}{1{,}9l} \approx 1{,}26g/cm^3$ [1 точка]