НОФ 2009, III кръг (национален) — Задача 1. Електромагнитен амортисьор

Олимпиада по физика 2009, Национален кръг, Плевен — теоретични задачи · 9 май 2009 г. · 15 т.

Условие

Еднородна метална пръчка $AB$ с маса $m = 10\ \mathrm{g}$ и дължина $L = 10\ \mathrm{cm}$ е окачена на две еднакви метални пружини, всяка с коефециент на еластичност $k = 20\ \mathrm{N/m}$. Пружините са закрепени към неподвижни клеми $C$ и $D$. Системата се намира в еднородно магнитно поле с индукция $B = 1\ \mathrm{T}$, насочена от вас към чертежа. Електрическото съпротивление на пръчката и на пружините е пренебрежимо малко. Пръчката е в електрически контакт с двете пружини. Първоначално между клемите $C$ и $D$ няма включен друг консуматор. Силата на тежестта се пренебрегва. Инерчният момент на еднородна пръчка спрямо центъра на масата ѝ е $I = (1/12)mL^2$.

а) Пръчката може да извършва два вида хармонични трептения. При първия вид трептене (фиг. 1 а) двата края на пръчката се отклоняват вертикално на еднакви разстояния $x$ в една и съща посока. При втория вид трептене краищата на пръчката се отклоняват вертикално на разстояния $\pm x$ в противоположни посоки (фиг. 1 б). Пресметнете честотите $\nu_1$ и $\nu_2$ на двата вида трептене. [6 т.]

б) Пръчката извършва първия вид трептене, като отклонението ѝ се дава с израза:

$x(t) = A\sin(\omega_1 t),$

където $\omega_1 = 2\pi\nu_1$ е кръговата честота на трептенето, а амплитудата е $A = 1\ \mathrm{cm}$.

Получете израз за напрежението $u(t)$ между клемите $C$ и $D$ като функция на времето $t$. Пресметнете числено амплитудата на напрежението $U_{\max}$. [3 т.]

в) Докато пръчката трепти, към клемите е свързан резистор със съпротивление $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$.

Приемете, че:

• затихването на трептенето е слабо и относителното изменение на амплитудата за един период е много малко;
• честотата на затихващото трептене е равна на честотата $\nu_1$ на свободното трептене
• индуктивността на системата е пренебрежимо малка.

Получете израз за количеството топлина $Q$, което се отделя в резистора за един период като функция на $A$, $B$, $R$, $L$ и на честотата $\nu_1$. Пресметнете числено $Q$ при $A = 1\ \mathrm{cm}$. [2 т.]

г) За колко време $t$ след включването на резистора амплитудата на трептене на пръчката ще намалее наполовина? [4 т.]

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf