Съдържание

НОФ 2009, III кръг (национален) — Задача 3. Хроматична аберация и обектив-ахромат

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2009

Олимпиада по физика 2009, Национален кръг, Плевен — теоретични задачи · 9 май 2009 г. · 15 т.

Условие

а) Получете формула за фокусното разстояние $f$ на двойноизпъкнала леща с радиуси на сферичните повърхности съответно $R_1$ и $R_2$ в среда с показател на пречупване $n_0$ . Показателят на пречупване на материала, от който е направена лещата, е $n > n_0$ . Използвайте т.нар. “параксиално приближение за тънка леща”, т.е. лъчите винаги сключват с оптичната ос на лещата много малки ъгли, пресичат лещата на разстояние от оптичната ос $x \ll R_1$ , $R_2$ и при преминаването си през лещата лъчът остава на практика на едно и също разстояние $x$ от оптичната ос. Приемете, че за малките ъгли е изпълнено $\sin\alpha \approx \tan\alpha \approx \alpha$ . [4 т.]

б) Във видимата област показателят на пречупване на всички прозрачни среди намалява с увеличаването на дължината на вълната на светлината. Нека върху симетрична ( $R_1 = R_2$ ) двойноизпъкнала леща с диаметър $D$ , намираща се във въздух (с показател на пречупване $n_в = 1$ ), падат успоредно на оптичната ос успоредни син и червен монохроматични снопове светлина като я осветяват изцяло. За тези светлинни вълни показателите на пречупване на лещата са съответно $n_с$ и $n_ч$ . Ако поставим екран във фокуса на лещата за червената светлина, ще установим че образът на синята светлина не е точка, а кръгче с диаметър $d$ . Този недостатък се нарича хроматична аберация на лещата. Получете формула за $d$ . [3 т.]

в) За да се направят обективи с минимална хроматична аберация, се използват системи от лещи, направени от различни материали. Нека разполагаме с обектив, съставен от две лещи, както е показано на фигурата вдясно. Лявата леща е симетрична двойноизпъкнала, а дясната – плосковдлъбната. Сферичните повърхности на лещите имат еднакви радиуси на кривина $R$ .

Изисква се този обектив (системата от двете лещи, работеща като събирателна леща) да има равни фокусни разстояния за синя светлина с дължина на вълната $\lambda_с$ и за червена светлина с дължина на вълната $\lambda_ч$ . Такъв обектив се нарича ахромат. Намерете връзка между показателите на пречупване $n_{1с}$ , $n_{1ч}$ , $n_{2с}$ и $n_{2ч}$ , при което горното изискване е изпълнено, като използвате същото приближение като в подусловие а). [4 т.]

Чертеж на обектив от две лещи върху оптична ос, с означения n1(λ), n2(λ), n_въздух(λ) = 1 и общ фокус F_с ≡ F_ч. — Обектив от две долепени лещи: лява симетрична двойноизпъкнала с показател на пречупване $n_1(\lambda)$ и дясна плосковдлъбната с показател $n_2(\lambda)$ ; наоколо е въздух с $n_{\text{въздух}}(\lambda) = 1$ , а фокусите за синята и червената светлина съвпадат: $F_c \equiv F_ч$ .

г) Зависимостта на показателя на пречупване за прозрачни вещества във видимата област се описва приближено с формулата на Коши: $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$ , където $A$ и $B$ са характерни за веществото константи. Ако имате на разположение дадените в таблицата вдясно материали и искате обективът да има максимално близки фокусни разстояния за синя светлина с дължина на вълната $\lambda_с = 450\ \mathrm{nm}$ и за червена светлина с дължина на вълната $\lambda_ч = 650\ \mathrm{nm}$ , кой материал бихте използвали за лявата и кой - за дясната леща?

Материал	$A$	$B(\mu\mathrm{m}^2)$
Топен кварц	1.4580	0.00354
Боросиликатно стъкло BK7	1.5046	0.00420
Стъкло “Твърд крон” K5	1.5220	0.00459
Стъкло “Бариев крон” BaK4	1.5690	0.00531
Стъкло “Бариев флинт” BaF10	1.6700	0.00743
Стъкло “Тежък флинт” SF10	1.7280	0.01342

[4 т.]

Отговори

Решение

а) От дадената фигура, закона на Снелиус за пречупването и отношения в триъгълници в изискваното “параксиално приближение за тънка леща” могат да се намерят следните връзки:

$\alpha = \varsigma = x/R_1$ [0,1 т.], $\alpha/\beta = n/n_0$ [0,1 т.], $\gamma = \varepsilon + (\alpha - \beta)$ [0,2 т.], $\varepsilon = x/R_2$ [0,2 т.], $\gamma/\delta = n_0/n$ [0,1 т.], $\eta = \delta - \varepsilon$ [0,2 т.], $\eta = x/f$ [0,1 т.]. За верен чертеж [1 т.].

Използвайки последователно намерените връзки, получаваме:

f = \frac{x}{\eta} = \frac{x}{\delta - \varepsilon} = \frac{x}{\dfrac{n}{n_0}\gamma - \varepsilon} = \frac{x}{\dfrac{n}{n_0}\left[\varepsilon + (\alpha - \beta)\right] - \varepsilon} = \frac{x}{\dfrac{n}{n_0}(\alpha - \beta) + \dfrac{n - n_0}{n_0}\varepsilon} = \frac{n_0 x}{\dfrac{n - n_0}{n_0}\alpha + \dfrac{n - n_0}{n_0}\varepsilon} =

= \frac{n_0 x}{(n - n_0)\left(\dfrac{x}{R_1} + \dfrac{x}{R_2}\right)} = \frac{n_0}{(n - n_0)\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right)} \qquad [2\ \text{т.}]\ (3.1)

б) Използвайки (3.1) в частния случай $n_0 = 1$ и $R_1 = R_2 = R$ за фокусното разстояние на лещата за синия и червения сноп получаваме съответно: $f_с = \dfrac{R}{2(n_с - 1)}$ [0,2 т.] и $f_ч = \dfrac{R}{2(n_ч - 1)}$ [0,2 т.]. От чертежа следва:

\frac{d}{D} = \frac{f_ч - f_с}{f_с}\ [1\ \text{т.}] = \frac{f_ч}{f_с} - 1 = \frac{n_с - 1}{n_ч - 1} - 1 = \frac{n_с - n_ч}{n_ч - 1}.

Следователно $d = \dfrac{n_с - n_ч}{n_ч - 1}D$ (3.2) [1,6 т.].

в) От дадената фигура, закона на Снелиус за пречупването и отношения в триъгълници в изискваното “параксиално приближение за тънка леща” могат да се намерят следните връзки:

$\alpha = \varsigma = x/R$ [0,1 т.], $\alpha/\beta = n_1$ [0,1 т.], $\gamma = \varepsilon + (\alpha - \beta)$ [0,2 т.], $\varepsilon = x/R$ [0,2 т.], $\gamma/\delta = n_2/n_1$ [0,1 т.], $\vartheta = \delta - \varepsilon$ [0,2 т.], $\vartheta/\iota = 1/n_2$ [0,1 т.], $\iota = \eta$ [0,1 т.], $\eta = x/f$ [0,1 т.]. За верен чертеж [1 т.].

Използвайки последователно намерените връзки, получаваме:

f = \frac{x}{\eta} = \frac{x}{\iota} = \frac{x}{n_2\vartheta} = \frac{x}{n_2(\delta - \varepsilon)} = \frac{x}{n_2\left(\dfrac{n_1}{n_2}\gamma - \varepsilon\right)} = \frac{x}{n_1\gamma - n_2\varepsilon} = \frac{x}{n_1\left[\varepsilon + (\alpha - \beta)\right] - n_2\varepsilon} =

= \frac{x}{n_1\left(\alpha - \dfrac{\alpha}{n_1}\right) + (n_1 - n_2)\varepsilon} = \frac{x}{(n_1 - 1)\alpha + (n_1 - n_2)\varepsilon} = \frac{x}{(n_1 - 1)\dfrac{x}{R} + (n_1 - n_2)\dfrac{x}{R}} = \frac{R}{2n_1 - n_2 - 1}

[2 т.] (3.3). Тъй като се иска $f_с = f_ч$ , то търсеното условие е

\frac{R}{2n_{1с} - n_{2с} - 1} = \frac{R}{2n_{1ч} - n_{2ч} - 1}\ (3.4)

или $2n_{1с} - n_{2с} = 2n_{1ч} - n_{2ч}$ , или $2(n_{1с} - n_{1ч}) = n_{2с} - n_{2ч}$ [0,8 т.]. (3.5)

г) За да намерим подходящите два материала, допълваме дадената таблица със следните колонки [3 т.] [ $n_C = n(\lambda = 450\ \mathrm{nm})$ , $n_ч = n(\lambda = 650\ \mathrm{nm})$ ] като използваме дадената формула на Коши $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$ :

Материал	$A$	$B(\mu\mathrm{m}^2)$	$n_C$	$n_ч$	$2(n_C-n_ч)$	$n_C - n_ч$
Топен кварц	1.4580	0.00354	1.4755	1.4664	0.01821	0.00910
Боросиликатно стъкло BK7	1.5046	0.00420	1.5253	1.5145	0.02160	0.01080
Стъкло “Твърд крон” K5	1.5220	0.00459	1.5447	1.5329	0.02361	0.01180
Стъкло “Бариев крон” BaK4	1.5690	0.00531	1.5952	1.5816	0.02731	0.01365
Стъкло “Бариев флинт” BaF10	1.6700	0.00743	1.7067	1.6876	0.03821	0.01911
Стъкло “Тежък флинт” SF10	1.7280	0.01342	1.7943	1.7598	0.06902	0.03451

При сравняване на стойностите в последните две колонки, установяваме, че равенство (3.5) е приблизително изпълнено в случая, когато симетричната двойноизпъкнала леща се направи от топен кварц, а плосковдлъбнатата леща – от стъкло “Бариев флинт” BaF10 [1 т.].

Чертеж на лъч, преминаващ през двойноизпъкнала леща, с означени ъгли и фокусно разстояние f. — Ход на лъча през двойноизпъкнала леща в среда с показател $n_0$ ; означени са ъглите $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \zeta, \eta$ , радиусите $R_1$ и $R_2$ , разстоянието $x$ от оптичната ос и фокусното разстояние $f$ .

Чертеж: леща с диаметър D, синият и червеният сноп се пресичат в различни фокуси, екран отдясно с петно с диаметър d. — Хроматична аберация: лещата с диаметър $D$ фокусира синята светлина във $F_c$ , а червената — във $F_ч$ ; на екрана, поставен във фокуса за червената светлина, синият образ е кръгче с диаметър $d$ .

Чертеж на лъч, преминаващ през система от две лещи с показатели n1 и n2, с означени ъгли и фокусно разстояние f. — Ход на лъча през обектива от две лещи с показатели $n_1$ и $n_2$ и еднакви радиуси на кривина $R$ , разположен във въздух ( $n_0 = 1$ ); означени са ъглите $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \zeta, \vartheta, \iota, \eta$ и фокусното разстояние $f$ .

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf