НОФ 2009, III кръг (национален) — Задача 3. Хроматична аберация и обектив-ахромат

Олимпиада по физика 2009, Национален кръг, Плевен — теоретични задачи · 9 май 2009 г. · 15 т.

Условие

а) Получете формула за фокусното разстояние $f$ на двойноизпъкнала леща с радиуси на сферичните повърхности съответно $R_1$ и $R_2$ в среда с показател на пречупване $n_0$. Показателят на пречупване на материала, от който е направена лещата, е $n > n_0$. Използвайте т.нар. “параксиално приближение за тънка леща”, т.е. лъчите винаги сключват с оптичната ос на лещата много малки ъгли, пресичат лещата на разстояние от оптичната ос $x \ll R_1$, $R_2$ и при преминаването си през лещата лъчът остава на практика на едно и също разстояние $x$ от оптичната ос. Приемете, че за малките ъгли е изпълнено $\sin\alpha \approx \tan\alpha \approx \alpha$. [4 т.]

б) Във видимата област показателят на пречупване на всички прозрачни среди намалява с увеличаването на дължината на вълната на светлината. Нека върху симетрична ($R_1 = R_2$) двойноизпъкнала леща с диаметър $D$, намираща се във въздух (с показател на пречупване $n_в = 1$), падат успоредно на оптичната ос успоредни син и червен монохроматични снопове светлина като я осветяват изцяло. За тези светлинни вълни показателите на пречупване на лещата са съответно $n_с$ и $n_ч$. Ако поставим екран във фокуса на лещата за червената светлина, ще установим че образът на синята светлина не е точка, а кръгче с диаметър $d$. Този недостатък се нарича хроматична аберация на лещата. Получете формула за $d$. [3 т.]

в) За да се направят обективи с минимална хроматична аберация, се използват системи от лещи, направени от различни материали. Нека разполагаме с обектив, съставен от две лещи, както е показано на фигурата вдясно. Лявата леща е симетрична двойноизпъкнала, а дясната – плосковдлъбната. Сферичните повърхности на лещите имат еднакви радиуси на кривина $R$.

Изисква се този обектив (системата от двете лещи, работеща като събирателна леща) да има равни фокусни разстояния за синя светлина с дължина на вълната $\lambda_с$ и за червена светлина с дължина на вълната $\lambda_ч$. Такъв обектив се нарича ахромат. Намерете връзка между показателите на пречупване $n_{1с}$, $n_{1ч}$, $n_{2с}$ и $n_{2ч}$, при което горното изискване е изпълнено, като използвате същото приближение като в подусловие а). [4 т.]

г) Зависимостта на показателя на пречупване за прозрачни вещества във видимата област се описва приближено с формулата на Коши: $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$, където $A$ и $B$ са характерни за веществото константи. Ако имате на разположение дадените в таблицата вдясно материали и искате обективът да има максимално близки фокусни разстояния за синя светлина с дължина на вълната $\lambda_с = 450\ \mathrm{nm}$ и за червена светлина с дължина на вълната $\lambda_ч = 650\ \mathrm{nm}$, кой материал бихте използвали за лявата и кой - за дясната леща?

Материал	$A$	$B(\mu\mathrm{m}^2)$
Топен кварц	1.4580	0.00354
Боросиликатно стъкло BK7	1.5046	0.00420
Стъкло “Твърд крон” K5	1.5220	0.00459
Стъкло “Бариев крон” BaK4	1.5690	0.00531
Стъкло “Бариев флинт” BaF10	1.6700	0.00743
Стъкло “Тежък флинт” SF10	1.7280	0.01342

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf