Съдържание

НОФ 2009, III кръг (национален) — Задача 1. Електромагнитен амортисьор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2009

Олимпиада по физика 2009, Национален кръг, Плевен — теоретични задачи · 9 май 2009 г. · 15 т.

Условие

Еднородна метална пръчка $AB$ с маса $m = 10\ \mathrm{g}$ и дължина $L = 10\ \mathrm{cm}$ е окачена на две еднакви метални пружини, всяка с коефециент на еластичност $k = 20\ \mathrm{N/m}$ . Пружините са закрепени към неподвижни клеми $C$ и $D$ . Системата се намира в еднородно магнитно поле с индукция $B = 1\ \mathrm{T}$ , насочена от вас към чертежа. Електрическото съпротивление на пръчката и на пружините е пренебрежимо малко. Пръчката е в електрически контакт с двете пружини. Първоначално между клемите $C$ и $D$ няма включен друг консуматор. Силата на тежестта се пренебрегва. Инерчният момент на еднородна пръчка спрямо центъра на масата ѝ е $I = (1/12)mL^2$ .

Схема: правоъгълен контур с резистор R отгоре, две вертикални пружини от клемите C и D до хоризонталната пръчка AB, символ за магнитно поле B, насочено навътре, и стрелка x надолу. — Фиг. 1 (а). Пръчката $AB$ е окачена на двете пружини, закрепени към клемите $C$ и $D$ ; към клемите е свързан резистор $R$ , а магнитното поле $\vec{B}$ е насочено навътре в чертежа. Двата края се отклоняват на еднакви разстояния $x$ в една и съща посока.

Схема: пръчка AB, окачена на две пружини от клемите C и D; пунктирни линии показват наклонените положения на пръчката, със стрелки x нагоре при A и надолу при B. — Фиг. 1 (б). Вторият вид трептене — краищата на пръчката $AB$ се отклоняват вертикално на разстояния $\pm x$ в противоположни посоки.

а) Пръчката може да извършва два вида хармонични трептения. При първия вид трептене (фиг. 1 а) двата края на пръчката се отклоняват вертикално на еднакви разстояния $x$ в една и съща посока. При втория вид трептене краищата на пръчката се отклоняват вертикално на разстояния $\pm x$ в противоположни посоки (фиг. 1 б). Пресметнете честотите $\nu_1$ и $\nu_2$ на двата вида трептене. [6 т.]

б) Пръчката извършва първия вид трептене, като отклонението ѝ се дава с израза:

x(t) = A\sin(\omega_1 t),

където $\omega_1 = 2\pi\nu_1$ е кръговата честота на трептенето, а амплитудата е $A = 1\ \mathrm{cm}$ .

Получете израз за напрежението $u(t)$ между клемите $C$ и $D$ като функция на времето $t$ . Пресметнете числено амплитудата на напрежението $U_{\max}$ . [3 т.]

в) Докато пръчката трепти, към клемите е свързан резистор със съпротивление $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ .

Приемете, че:

затихването на трептенето е слабо и относителното изменение на амплитудата за един период е много малко;
честотата на затихващото трептене е равна на честотата $\nu_1$ на свободното трептене
индуктивността на системата е пренебрежимо малка.

Получете израз за количеството топлина $Q$ , което се отделя в резистора за един период като функция на $A$ , $B$ , $R$ , $L$ и на честотата $\nu_1$ . Пресметнете числено $Q$ при $A = 1\ \mathrm{cm}$ . [2 т.]

г) За колко време $t$ след включването на резистора амплитудата на трептене на пръчката ще намалее наполовина? [4 т.]

Отговори

Решение

а) При първия вид трептене върху двата края на пръчката действат еднакви по големини и по посоки сили:

F_1 = F_2 = kx

Пръчката извършва постъпателно движение под действие на равнодействаща сила:

F = F_1 + F_2 = 2kx. \qquad [1.0\ \text{т}]

Ефективният коефициент на еластичност е $k_{ef} = 2k$ , откъдето честотата на първото трептене е:

\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}} \approx 10\ \mathrm{Hz} \qquad [1.0\ \text{т}]

При втория вид трептене на двата края действат еднакви по големини сили $F_1 = F_2 = kx$ в противоположни посоки. Те създават общ въртящ момент:

M = F_1\frac{L}{2} + F_2\frac{L}{2} = kxL \qquad [1.0\ \text{т}]

От уравнението за въртене около неподвижна ос:

\frac{1}{12}mL^2\varepsilon = kxL, \qquad [1.0\ \text{т}]

където $\varepsilon$ е ъгловото ускорение на пръчката. От друга страна:

a = \varepsilon\frac{L}{2}, \qquad [0.5\ \text{т}]

където $a$ е ускорението, с което се движат двата края на пръчката. Следователно:

ma = 6kx \qquad [0.5\ \text{т}]

Това е уравнение на хармонично трептене с честота:

\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{6k}{m}} \approx 17\ \mathrm{Hz}. \qquad [1.0\ \text{т}]

б) Площта на правоъгълника $ABCD$ се изменя с времето по закона:

S(t) = Lx(t) = LA\sin(2\pi\nu_1 t), \qquad [0.5\ \text{т}]

а потокът на магнитното поле:

\Phi(t) = BS(t) = BLA\sin(2\pi\nu_1 t). \qquad [0.5\ \text{т}]

От закона на Фарадей определяме

u(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt} = -2\pi\nu_1 BLA\cos(2\pi\nu_1 t) \qquad [1.0\ \text{т}]

Амплитудата на напрежението е:

U_{\max} = 2\pi\nu_1 BLA = 6.3\times 10^{-2}\ \mathrm{V} \qquad [1.0\ \text{т}]

в) Ако приемем, че амплитудата на трептене почти не се променя за един период, върху резистора ще бъде приложено променливо напрежение с амплитуда $U_{\max}$ и ефективна стойност:

U = \frac{U_{\max}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\pi\nu_1 BLA. \qquad [0.5\ \text{т}]

Средната мощност на променливия ток в резистора е::

\overline{P} = \frac{U^2}{R} = 2\frac{(\pi\nu_1 BLA)^2}{R}. \qquad [0.5\ \text{т}]

За един период отделената топлина е:

Q = \overline{P}T = \frac{\overline{P}}{\nu_1} = 2\nu_1\frac{(\pi BLA)^2}{R} = 1.97\times 10^{-7}\ \mathrm{J} \qquad [1.0\ \text{т}]

г) Пълната енергия на системата преди включването на резистора е:

E_0 = \frac{1}{2}(2k)A^2 = kA^2. \qquad [0.5\ \text{т}]

Относителното изменение на енергията за един период е:

\eta = \frac{\Delta E}{E} = -\frac{Q}{E} = -\frac{2\nu_1(\pi BL)^2}{Rk} = -9.87\times 10^{-5}. \qquad [0.5\ \text{т}]

Енергията в края на $N$ -тия период е свързана с енергията в края на предходния период чрез съотношението:

E_N = (1+\eta)E_{N-1} = (1-|\eta|)E_{N-1} \qquad [0.5\ \text{т}]

Следователно след включване на резистора енергията намалява като функция на броя периоди $N$ по закона:

E_N = E_0(1-|\eta|)^N. \qquad [0.5\ \text{т}]

От $A_N = (1/2)A_0$ следва $E_N = (1/4)E_0$ . Следователно $(1-|\eta|)^N = 1/4$ и

N = \frac{\ln(1/4)}{\ln(1-|\eta|)} \approx \frac{\ln 4}{|\eta|}. \qquad [1.0\ \text{т}]

Времето за $N$ периода е:

t = NT = \frac{\ln 4}{|\eta|\nu_1} \approx 1400\ \mathrm{s} \qquad [1.0\ \text{т}]

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf