НОФ 2010, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Стъклено полукълбо като лупа

• а) $r = R/\sqrt{2},\qquad S_{\text{вид}} = \pi r^2 = \pi R^2/2,\qquad S_{\text{невид}} = \pi R^2 - \pi R^2/2 = \pi R^2/2$

  Видимото поле е кръг с радиус $r = R/\sqrt{2}$ и площ $\pi R^2/2$; невидимата област е пръстенът от $r$ до $R$ със същата площ $\pi R^2/2$.

• б) $\frac{OB}{OA} = \frac{\mathrm{tg}(\varphi_2)}{\mathrm{tg}(\varphi_1)} \approx n$

  Образът е прав и недействителен и се намира на същото разстояние като обекта.

• в) Синята буква ще изглежда по-голяма.

  При нормална дисперсия $n$ е по-голям за по-късата (синя) дължина на вълната, а увеличението е пропорционално на $n$.

а) Нека разгледаме траекторията на светлинен лъч идващ от плоското дъно на полусферата (нарисувана е само половината от нея). За да се пречупи този лъч и напусне сферичната повърхност, ъгълът на падане $\lt AMO$ трябва да е по-малък от граничният ъгъл на пълно вътрешно отражение, определен от
$\sin(\varphi') = 1/n$ [1 т.].

С нарастване на разстоянието от центъра на плоската повърхност (ОА), нараства и ъгълът на падане. Граничният ъгъл се достига при
$OA/OM = \sin(\varphi') = 1/n = 1/\sqrt{2}$ [0,5 т.].

Или $\lt AMO = 45^0$ [0,5 т.]. Тъй като $OM = R$, то максималният радиус на видимост ще бъде $r = R/\sqrt{2}$ [1 т.], а съответната област – кръг с радиус $r$ и площ $\pi.r^2 = \pi.R^2/2$ [0,5 т.]. „Невидимата” област се простира от $r$ до $R$ и има същата площ - $\pi.R^2/2$ [0,5 т.].

б) Образът ще бъде прав и недействителен. За разлика от случая на плоска разделителна повърхност, когато образът е приближен до нас, в този случай той ще се намира на същото разстояние, както и обекта [1 т.]. За да определим линейното увеличение, сравняваме дължините на обекта $OA$ и неговия образ $OB$ (с пунктир е означено продължението на пречупеният лъч до образа). Ако с $\varphi_1$ и $\varphi_2$ означим ъглите на падане и пречупване, то от законът на Снелиус имаме $\sin(\varphi_2)/\sin(\varphi_1) = n$ [1 т.], Възможни са различни построения, но ако използваме лъчите , които минават през оста на полусферата, ще имаме

а $OA = R.\mathrm{tg}(\varphi_1)$ и $OB = R.\mathrm{tg}(\varphi_2)$

При малки ъгли $\varphi$ може да използваме приближението $\cos(\varphi) \approx 1$, откъдето получаваме $OB/OA \approx n$ [1т.]

в) При нормалната дисперсия (каквато е при стъклото) показателя на пречупване намалява с увеличаване на дължината на вълната [1 т.]. Тъй като синият цвят е с по-малка дължина от червения [1 т.], то показателят на пречупване $n$ в синята област ще бъде по-голям и съответно синята буква ще изглежда по-голяма [1 т.].