НОФ 2010, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2. Дифракционна решетка във въздух и във вода

• а) $|m| < d/\lambda = 2/0{,}6 = 3{,}33\ldots \Rightarrow m = -3,\ldots,+3 \Rightarrow 7$
• б) $\lambda_1 = \lambda/n = 450\ \mathrm{nm},\quad |m| < d/\lambda_1 = 4{,}44\ldots \Rightarrow m = -4,\ldots,+4 \Rightarrow 9$
• в) $\sin(\theta) < 1/n \Rightarrow |m| < 3d/(4\lambda_1) = 10/3 \Rightarrow 7$

а) От броя линии на сантиметър определяме константата на дифракционната решетка
$d = 2.10^{-6}$ m $= 2$ μm [1 т.] . От формулата за дифракционна решетка $d.\sin(\theta) = m.\lambda$ [1 т.] може да определим положението на дифракционните максимуми $\sin(\theta) = m.\lambda/d$ [1 т.], а техният брой се определя от условието $-1 < \sin(\theta) < 1$ [0,5 т.], т.е. $-1 < m.\lambda/d < 1$ [0,5 т.] или
$|m| < d/\lambda$ = 2/0,6 = 10/3 = 3,33…[0,5 т.]. Тъй като $m$ е цяло число, то възможните му стойности са -3, -2,-1, 0, +1, +2,+3 – общо 7 на брой [0,5 т.].

б) Във водата се променя дължината на вълната на светлината $\lambda_1 = \lambda / n$ = 600.3/4 = 450 nm [1т.] . Тогава ще имаме $|m| < d/\lambda_1$ = 2/0,45 = 4,44... [0,5 т.], Откъдето намираме, че са възможни 9 максимума ( от m= -4 до m = +4 ) [0,5 т.]

в) Както и в предишното подусловие, във водата ще се наблюдават 9 максимума [0,5 т.]. Но дали те ще преминат във въздуха зависи от ъгъла на падане спрямо разделителната повърхност вода – въздух. Тъй като ъгълът, под който падат лъчите, съвпада с ъгълът под който се отразяват от решетката, то за да преминат лъчите във въздуха е необходимо $\sin(\theta) \lt 1/n$ [1 т.], или $m.\lambda_1 /d < 1/n$ = ¾ [0,5 т.] ; т.е. $|m| < 3.d/(4.\lambda_1)$ = 6/1,8 = 10/3 [0,5 т.] – както и в подусловие (а) във въздуха ще се наблюдават 7 на брой максимума [0,5 т.] (които съвпадат по ъглово разпределение с максимумите, които биха се получили ако имаше отражение от дифракционната решетка във въздух).