НОФ 2010, II кръг (областен), 9. клас — Задача 1. Резистори

• а) $n = \frac{4R_1 - R_2}{2R_1 - R_2} = \frac{4\cdot 90\ \Omega - 160\ \Omega}{2\cdot 90\ \Omega - 160\ \Omega} = 10$
• б) $R = \frac{n}{n-1}R_1 = \frac{10}{9}\cdot 90\ \Omega = 100\ \Omega$
• в) $R_3 = \frac{3R\cdot(n-3)R}{3R+(n-3)R} = \frac{3(n-3)}{n}R = \frac{3\cdot 7}{10}\cdot 100\ \Omega = 210\ \Omega$

а) Когато омметърът измерва съпротивление $R_1 = 90\ \Omega$, той измерва еквивалентното съпротивление на успоредно свързани резистори със стойности $R$ и $(n-1)R$ [0,5 т.]. Следователно

$R_1 = \dfrac{R\cdot(n-1)R}{R+(n-1)R} = \dfrac{n-1}{n}R$ [0,5 т.]. (1.1)

Във втория случай той измерва еквивалентното съпротивление на успоредно свързани резистори със стойности $2R$ и $(n-2)R$ [0,5 т.]. Следователно

$R_2 = \dfrac{2R\cdot(n-2)R}{2R+(n-2)R} = \dfrac{2(n-2)}{n}R$ [0,5 т.]. (1.2)

Разделяйки (1.2) на (1.1) получаваме $\dfrac{\frac{2(n-2)}{n}R}{\frac{n-1}{n}R} = \dfrac{R_2}{R_1}$, откъдето след опростяване $n = \dfrac{4R_1 - R_2}{2R_1 - R_2}$ [2 т.]. След заместване с дадените стойности $n = \dfrac{4\cdot 90\ \Omega - 160\ \Omega}{2\cdot 90\ \Omega - 160\ \Omega} = 10$ [1 т.]

б) Електричното съпротивление $R$ на всеки един от резисторите може да се намери от (1.1) или (1.2). Например, от (1.1) следва: $R = \dfrac{n}{n-1}R_1$ [2 т.] $= \dfrac{10}{9}\cdot 90\ \Omega = 100\ \Omega$ [1 т.]

в) Показанието $R_3$ на омметъра, когато той измерва съпротивлението между две точки, между които има три резистора, ще бъде

$R_3 = \dfrac{3R(n-3)R}{3R+(n-3)R} = \dfrac{3(n-3)}{n}R$ [1 т.] $= \dfrac{3\cdot 7}{10}\cdot 100\ \Omega = 210\ \Omega$ [1 т.]