Съдържание

НОФ 2010, III кръг (национален), 10–12 клас, втори ден · друг препис — Задача 3. Заземяване.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2010

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА. Олимпиада по физика, Национален кръг, Плевен, 2 май 2010 г. Тема за 10-12 клас · 2 май 2010 г. · 5 т.

Внимание: Бележка към темата

Файлът с решения в архива е за друга тема; решенията са взети от края на файла с условията.

Условие

Два еднакви проводника с форма на кълбо с радиус $a$ са закопани в земята на дълбочина $H \gg a$ . Разстоянието между техните центрове е $L$ , като $L \gg a$ и $L \ll H$ . Приема се, че земята е слабопроводяща среда със специфично съпротивление $\rho$ и относителна диелектрична проницаемост $\varepsilon$ . Намерете:

а) капацитета $C$ между двете проводящи кълба. [2,5 т.]

б) съпротивлението $R$ на земята между двете проводящи кълба. Използвайте закона на Ом в т.нар. “диференциална форма”: $j = \dfrac{E}{\rho}$ , където $j$ е плътността на тока (вектор с големина равна на големината на тока, разделена на сечението и посока – посоката на тока), е $E$ е интензитетът на електричното поле в същата точка [2 т.]

в) Как зависи съпротивлението $R$ на земята от разстоянието $L$ ? [0,5 т.]

Отговори

Решение

а) Нека едното кълбо да има електричен заряд $q$ , а другото да има заряд $-q$ . Потенциалът $\varphi(r)$ в точка на разстояние $r$ от първото кълбо ще бъде

\varphi(r) = \varphi_q + \varphi_{-q} = \frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0 r} + \frac{-q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0(L-r)} = \frac{q(L-2r)}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0 r(L-r)}

[0,5 т.]

Напрежението $U$ между двете кълба ще бъде

U = \varphi(a) - \varphi(L-a) = \frac{q(L-2a)}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0 a(L-a)} - \frac{q(L-2(L-a))}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0(L-a)(L-(L-a))} = \frac{q2(L-2a)}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0 a(L-a)}

[1 т.].

При $L \gg a$ , $U \approx \dfrac{2q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0 a}$ [0,5 т.]. Следователно капацитетът $C$ между двете проводящи кълба е $C = \dfrac{q}{U} = 2\pi\varepsilon\varepsilon_0 a$ [0,5 т.]

б) На повърхността на първото кълбо интензитетът на електричното поле е (неотчитайки ел. поле на другото кълбо) $E \approx \dfrac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0 a^2}$ [0,5 т.]. Плътността на тока е $j = \dfrac{I}{4\pi a^2}$ . От закона на Ом следва $j = \dfrac{I}{4\pi a^2} = \dfrac{E}{\rho} = \dfrac{q}{\rho 4\pi\varepsilon\varepsilon_0 a^2} = \dfrac{U}{2\rho a}$ [1 т.]. Следователно $U = \dfrac{\rho}{2\pi a}I$ , откъдето $R = \dfrac{\rho}{2\pi a}$ [0,5 т.]

в) от получения резултат за съпротивлението $R$ на земята следва, че то не зависи от разстоянието $L$ [0,5 т.].

Оригинал в Архива: 10-12_d2.pdf · официални решения: 10-12_d1_resh.pdf