НОФ 2011, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 1. Разход на гориво

а)

За да определим ъгловата скорост на въртене на стрелката е необходимо да определим количеството гориво, което се изразходва за 1 час [1 т] . При скорост 50 km/h то е 2 литра/час [1 т], а при скорост 130 km/h – 10,4 литра/час [1 т]. Пълен резервоар от 40 литра съответства на $120^0$ (12 деления). Тогава ъгловата скорост на стрелката ще бъде съответно $(120^0\,/40)*2 = 6^0$ (6 деления) на час [1 т] при скорост 50 km/h и $(120^0\,/40)*10{,}4 = 31{,}2^0$ (3,1 деления) на час [1 т] при скорост 130 km/h.

б)

Тъй като съпротивителната сила на въздуха зависи от квадрата на скоростта, по същия начин ще зависи работата [1 т] (и съответно частта от горивото, което отива за преодоляване на въздушното съпротивление при движение с постоянна скорост). Ако означим с $x$ разхода на гориво на 100 km при постоянна скорост на движение, ще получим $x = A + B.v^2$ [1 т]. Като заместим със стойностите при 50 и 130 km/h, получаваме система от две уравнения с две неизвестни:

Откъдето намираме $B = 4/14400$ и $A = 47600/14400$ [1 т] и съответно разходът при 90 km/h ще бъде $X_{90} = 476/144 + (4*8100)/14400 = 5{,}55..$ литра/100 километра [1 т]. Разходът на час ще бъде 5 литра на час, а ъгловата скорост на разходомера - $(120^0\,/40)*5 = 15^0$ (1,5 деления) на час. [1 т]

в)

За да оценим необходимото количество гориво за работа на място, то е необходимо да свържем скоростта с разхода на гориво за единица време. Тогава стойността на тази функционална зависимост при $v = 0$ ще ни даде разхода на гориво при работещ двигател на спрял автомобил [1 т].

За преодоляване на силата на въздушното съпротивление ( $\sim v^2$ ) ще е необходима мощност $\sim v^3$ [1 т] (която е пропорционална на работата за единица време при постоянна скорост на движение). Така, че зависимостта на изразходваното за единица време гориво (означаваме с $y$) ще апроксимираме с $y = C + D.v^3$ [1 т], където $C$ и $D$ са константи, като получената стойност за $C$ ще е оценката за изразходваното гориво при работа на двигател за спрял автомобил.

Ако се прекара бест-фит права през трите точки се получава $y = 1{,}23 + 5{,}39*v^3$, което ни дава разход от 1,23 литра/час за работещ на място двигател. [2 т]

(Алтернативно стойността на $C$ може да получим от две уравнения с две неизвестни с данните за разхода при 50 и 130 km/h – $C = 1{,}33$ литра/час.)