Съдържание

НОФ 2012, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Топче на спица в кулоново поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2012

Областен кръг на олимпиадата по физика 2012 — тема за възрастова група X–XII клас · 24 февруари 2012 г. · 10 т.

Условие

Метално топче с маса $m = 90\ \mathrm{g}$ и електричен заряд $q = 1\ \mathrm{\mu C}$ може да се хлъзга без триене по тънка хоризонтална спица от изолиращ материал. На разстояние $l = 10\ \mathrm{cm}$ от спицата е закрепено неподвижно топче със същия по големина заряд, но с неизвестен знак (фиг. 1).

Хоризонтална спица с подвижно топче със заряд $q$; на разстояние $l$ под него е закрепено неподвижно топче със заряд $Q$. — Фиг. 1

Когато топчето върху спицата се отклони на разстояние $A \ll l$ , то започва да трепти хармонично с период $T$ .

а) При какъв знак на заряда $Q$ на неподвижното топче е възможно трептене на топчето върху хоризонталната спица? [2 т.]

б) Намерете коефициента $k_{\text{еф}}$ на еластичната сила, под действие на която се извършват хармоничните трептения. [6 т.]

в) Пресметнете периода на трептене $T$ . Константата в закона на Кулон е $k = 9.10^9\ \mathrm{N.m^2/C^2}$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) Трептенето на топчето по хоризонталната спица се извършва под действие на връщаща хоризонтална сила $F$ . (0,5 т.) Електричната сила $F_{\text{ел}}$ , с която заряда $Q$ действа на заряда $q$ може да се представи като векторна сума на две взаимноперпендикулярни сили – хоризонтална и вертикална. (0,5 т.) Вертикалната сила, силата на тежестта и реакцията на опората взаимно се компенсират. (0,5 т.) Хоризонталната сила играе роля на връщаща, когато зарядите се привличат, т.е. $Q = -q$ . (0,5 т.)

б) На фиг. 1 топчето с маса $m$ и заряд $q$ е отклонено от равновесното си положение на разстояние $x$ .

Топчето със заряд $q$, отклонено на разстояние $x$; електричната сила $F_{\text{ел}}$ сочи към заряда $Q$ и сключва ъгъл $\alpha$ с отсечката $l$, а хоризонталната ѝ компонента $F$ е връщащата сила. — Фиг. 1 (към решението)

Връщащата сила $F = F_{\text{ел}}\sin\alpha$ . (1 т.) Като отчетем, че

F_{\text{ел}} = \frac{kq^2}{l^2 + x^2},\quad \textbf{(1 т.)} \qquad \sin\alpha = \frac{x}{\sqrt{l^2 + x^2}}, \qquad \textbf{(1 т.)}

намираме

F = kq^2 \frac{x}{\left(l^2 + x^2\right)^{3/2}} \approx \frac{kq^2}{l^3}x, \qquad \textbf{(2 т.)}

тъй като $x \ll l$ . Тогава силата $F$ се превръща в еластична (пропорционална на $x$ ) с коефициент на еластичност

k_{\text{еф}} = \frac{kq^2}{l^3}. \qquad \textbf{(1 т.)}

в) Периодът на трептене се дава с израза

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{еф}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{ml^3}{kq^2}} \approx 0{,}63\ \mathrm{s}. \qquad \textbf{(2 т.)}

Оригинал в Архива: NOF2_2012_10-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2012_10-12solutions.pdf