НОФ 2012, III кръг (национален), 10–12 клас, втори ден — Задача 1

Задача 1. Падаща макара.

а) От втория закон на Нютон следва: $Mg-2T=Ma$ [1 т.]. От втория закон на Нютон за въртеливото движение следва: $Tr=I\varepsilon=Mr^2\varepsilon/2$. [1 т.] За да определим връзката между ускорението $a$ и ъгловото ускорение $\varepsilon$, да допуснем, че центърът на диска се премества на разстояние $\Delta x$ надолу. Тогава трябва да се развие допълнително нишка с дължина $\Delta l=2\Delta x$. [0.5 т.] Следователно $\omega=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}=\frac{\Delta l}{r\Delta t}=\frac{2\Delta x}{r\Delta t}=\frac{2v}{r}$. По същия начин може да покажем, че и $\varepsilon=\frac{2a}{r}$. [0.5 т.]

Елиминирайки силата на опъване на нишката $T$ от първите две уравнения, получаваме $Mg-2Mr\varepsilon/2=Mg-2Ma=Ma$, откъдето $a=g/3$. [1 т.]

б) Тъй като при преместване на диска на разстояние $\Delta x$ надолу, макарата се завъртва на ъгъл $\Delta\theta=\frac{\Delta x}{r/2}$ [0,5 т.], а дискът се завъртва на ъгъл $\Delta\varphi=\frac{2\Delta x}{r}$ [0,5 т.], то $\Delta\theta=\Delta\varphi$.

Следователно $\varepsilon_M/\varepsilon_m=1$ [1 т.]