Съдържание

НОФ 2012, III кръг (национален), 10–12 клас, втори ден — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2012

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · Олимпиада по физика, Национален кръг · Хасково, 21 – 22 април 2012 г. · Тема за 10. – 12. клас · Втори етап · 21 април 2012 г.

Допълнителен текст от източника

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА

Олимпиада по физика, Национален кръг

Хасково, 21 – 22 април 2012 г.

Решения на темата за 10. – 12. клас

Втори етап

Условие

Задача 2. Нагряване на газ.

Във вертикален затворен цилиндър има тежко бутало, което се движи без триене. Частите на съда, които са разделени от буталото, съдържат по един mol газ, който може да се разглежда като идеален. При температура $T_0$ , еднаква за двете части на съда, отношението на обемите е $V:V'=1:2$ , където $V$ е обемът на газа под буталото, а $V'$ - на газа над буталото. С помощта на вграден нагревател с пренебрежим обем газът под буталото се нагрява, докато увеличи обема си два пъти. Намерете полученото от газа под буталото количество топлина $Q$ като приемете, че стените на цилиндъра и буталото са топлонепроводящи. Резултатът изразете чрез температурата $T_0$ , универсалната газова константа $R$ и показателя на адиабатата $\gamma$ . Направете числена оценка за едноатомен и двуатомен газ. [7 т.]

Решение

Задача 2. Нагряване на газ.

Търсеното количество топлина е

Q=U_2-U_1+A',

[0,5 т.]

където $U_1$ и $U_2$ са началната и крайната енергия на газа под буталото, а $A'$ е работата, извършена от него. При всяко положение на буталото имаме

p=p_0+p',

[0,5 т.]

където $p_0=\mathrm{const}$ е налягането на буталото. Тогава

A'=A_1+A_2,

[0,5 т.]

където при обем на цилиндъра $V_0$ имаме

A_1=\frac{p_0V_0}{3},

[0,5 т.]

а $A_2$ може да се разглежда като работа на външната сила, която свива адиабатно газа над буталото, като

A_2=U'_2-U'_1.

[0,5 т.]

Вътрешната енергия на идеален газ зависи само от температурата. Като отчетем съотношението на Майер за един mol газ и определението на показателя на адиабатата

c_p-c_V=R,\qquad \frac{c_p}{c_V}=\gamma,

Намираме $U_1=U'_1=\frac{RT_0}{\gamma-1}$ .

[0,5 т.]

Тъй като за началните състояния имаме

p_1\frac{V_0}{3}=RT_0,\qquad p'_1\frac{2V_0}{3}=RT_0,

[0,5 т.]

тогава намираме

p'_1=p_0,\qquad p_1=2p_0,\qquad RT_0=\frac{2p_0V_0}{3}.

[0,5 т.]

При адиабатно свиване на газа над буталото имаме

p'_1\left(\frac{2V_0}{3}\right)^\gamma=p'_2\left(\frac{V_0}{3}\right)^\gamma,\qquad p'_2=2^\gamma p_0,

[0,5 т.]

при което намираме

\frac{p'_1\left(\frac{2V_0}{3}\right)}{T_0}=\frac{p'_2\left(\frac{V_0}{3}\right)}{T'_2},\qquad T'_2=2^{\gamma-1}T_0,

[0,5 т.]

и получаваме

U'_2=\frac{2^{\gamma-1}}{\gamma-1}RT_0.

[0,5 т.]

Аналогично получаваме

\frac{p_1\left(\frac{V_0}{3}\right)}{T_0}=\frac{p_2\left(\frac{2V_0}{3}\right)}{T_2},\qquad T_2=(2^\gamma+1)T_0,\qquad U_2=\frac{(2^\gamma+1)}{\gamma-1}RT_0.

[0,5 т.]

След заместване намираме

Q=\frac{3\cdot2^\gamma+\gamma-3}{2(\gamma-1)}RT_0.

[0,5 т.]

За едноатомен газ имаме $\gamma_1=\frac{5}{3}$ и тогава $Q_1\approx6,1RT_0$ [0,25 т.], а за двуатомен газ при

$\gamma_2=\frac{7}{5}$ получаваме $Q_2\approx7,9RT_0$ [0,25 т.].

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Топлинни явления · Идеални газове · Първи принцип на термодинамиката

Оригинал в Архива: NOF3_2012_10-12problemsD2.pdf · официални решения: NOF3_2012_10-12solutionsD2.pdf