НОФ 2013, III кръг (национален), 8. клас — Задача 1. Трамвайна линия

• а) $a = \frac{v^2}{2d} = \frac{(15\ \mathrm{m/s})^2}{2\cdot 45\ \mathrm{m}} = 2{,}5\ \mathrm{m/s^2}$
• б) $T = 20\cdot 70\ \mathrm{s} - 20\ \mathrm{s} = 1380\ \mathrm{s} = 23\ \mathrm{min}$
• в) $N = \frac{2\,(23\ \mathrm{min} + 7\ \mathrm{min})}{6\ \mathrm{min}} = \frac{60\ \mathrm{min}}{6\ \mathrm{min}} = 10$
• г) $10 - (2+1) = 7$

а) Ускорението, с което трамваят се движи при тръгване (и спиране), е $a = v^2/2l =$ [1 т.] $(15\,\mathrm{m/s})^2/2.45\,\mathrm{m} = 2{,}5\ \mathrm{m/s^2}$. [1 т.]

б) Времето $T$ (в минути), за което един трамвай изминава целия маршрут (в едната посока), можем да сметнем по следния начин. Пресмятаме първо интервала време, за който един трамвай тръгва от две съседни спирки. Това време е равно на сумата от времената, за които трамваят ускорява, движи се равномерно, спира и стои на спирката: $t = t_1 + t_2 + t_3 + t_4$. Времето $t_1 = t_3 = v/a$ [0.5 т.] $= 15\ \mathrm{m/s}\ /\ 2{,}5\ \mathrm{m/s^2} = 6\ \mathrm{s}$. [0.5 т.] $t_2 = (l - 2d)/v$ [0.5 т.] $= (660\,\mathrm{m} - 2.45\mathrm{m})/15\ \mathrm{m/s} = 38\ \mathrm{s}$. [1 т.] Следователно $t = 6\ \mathrm{s} + 38\ \mathrm{s} + 6\ \mathrm{s} + 20\ \mathrm{s} = 70\ \mathrm{s}$. [0.5 т.] Тъй като трамваят изминава 20 такива спирки и като отчетем факта, че не трябва да броим последните $20\ \mathrm{s}$ след като трамваят пристигне на последната спирка, то $T = 20.70\ \mathrm{s} - 20\ \mathrm{s}$ [0.5 т.] $= 1380\ \mathrm{s} = 23\ \mathrm{min}$ [0.5 т.]

в) Броят на мотрисите, които са нужни, за да се осигури преминаване на трамвай през всяка спирка на интервал от $6\ \mathrm{min}$, можем да изчислим така. Една пълна обиколка на трамвая по маршрута е $2\times(23\ \mathrm{min} + 7\ \mathrm{min}) = 60\ \mathrm{min}$. [0.5 т.] Следователно броят на мотрисите е $60\ \mathrm{min}\ /\ 6\ \mathrm{min} = 10$. [0.5 т.]

г) Един от начините да изчислим колко насрещни мотриси ще срещне един трамвай, докато се движи от първата до последната спирка, е да разсъждаваме така: когато един трамвай тръгва от първата спирка, там вече една минута почива трамваят, който се движи зад него. [1 т.] Пристигайки на последната спирка, той заварва трамваят, който се движи пред него, също да почива последната си минута. [0.5 т.] Всички останали трамваи за него са били насрещни. [0.5 т.] Следователно броят им е $10 - (2+1) = 7$ [1 т.]

(Бележка на транскрипцията: точката е знак за умножение — „2.45 m“ = $2\cdot 45\ \mathrm{m}$, „20.70 s“ = $20\cdot 70\ \mathrm{s}$. В подточка а) е отпечатано $v^2/2l$, но заместването е с $d$.)