Съдържание

НОФ 2013, III кръг (национален), 9. клас — Задача 1. Еквивалентен капацитет на мостова схема

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2013

Национален кръг на олимпиадата по физика 2013, Тема за 9. клас · 20 април 2013 г. · 10 т.

Условие

На схемата, показана на фиг.1, когато се подаде напрежение $U$ от източник, в участъка $ab$ , който е еквивалентен на един кондензатор с капацитет $C$ , се натрупва електричен заряд $q$ .

Мрежа от седем еднакви кондензатора C0 между клеми a и b, с три хоризонтални клона и възли A, B, C и D. — Фиг. 1. Схемата на участъка $ab$ със седем еднакви кондензатора $C_0$ и възли $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

а) Начертайте еквивалентната и опростена схема на свързване на кондензаторите. [3 т.]

б) Намерете еквивалентния (общия) капацитет $C$ на схемата. [7 т.]

Отговори

Решение

а) Еквивалентната схема на участъка $ab$ е показана на фиг. 1 (2 т.), където $C_1 = C_4 = C_0/2$ (0,5 т.), а $C_2 = C_3 = C_0$ (0,5 т.).

Мостова схема: горен клон A–C1–C–C3–D, долен клон A–C2–B–C4–D и напречен кондензатор C0 между възлите C и B. — Фиг. 1 (към решението). Еквивалентната мостова схема с кондензатори $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ , $C_4$ и напречния $C_0$ , с означени заряди $q_0$ , $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ , $q_4$ и полярности.

б) Тъй като напрежението $U_{BC} \ne 0$ (0,5 т.), пресмятането на еквивалентния капацитет ще направим по формулата

C = \frac{q}{U} = \frac{q}{U_1 + U_3} = \frac{q}{2q_1 + q_3}C_0 .

(1 т.)

От закона за запазване на електричния заряд, приложен за възлите $A$ , $B$ и $C$ имаме

q = q_1 + q_2 , \qquad q_1 + q_0 = q_3 , \qquad q_2 = q_0 + q_4 .

(1,5 т.)

Тъй като напрежението $U_{AC} = q_1/C_1 = q_2/C_2 + q_0/C_0$ , а напрежението $U_{BD} = q_4/C_4 = q_0/C_0 + q_3/C_3$ , намираме още две връзки между зарядите

2q_1 = q_2 + q_0 ,

(0,5 т.)

2q_4 = q_0 + q_3 .

(0,5 т.)

Като заместим в последните две равенства $q_3$ и $q_4$ , изразени чрез $q_0, q_1, q_2$ получаваме

q_0 = 2q_1 - q_2 ,

(0,5 т.)

4q_0 = 2q_2 - q_1 ,

(0,5 т.)

откъдето следва равенството $3q_1 = 2q_2$ (0,5 т.). Тогава имаме

q_1 = \frac{2}{5}q , \quad q_2 = \frac{3}{5}q , \quad q_0 = \frac{1}{5}q , \quad q_3 = \frac{3}{5}q ,

(0,5 т.)

C = \frac{5}{7}C_0 .

(1 т.)

Оригинал в Архива: NOF3_2013_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2013_9solutions.pdf