НОФ 2014, III кръг (национален), 10–12 клас, втори ден — Задача 1. Търкалящо се кълбо

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА. Казанлък, 11–13 април 2014 г. Тема за 10.–12. клас – ІІ етап · 11 април 2014 г. · 6 т.

Условие

Върху вътрешната страна на неподвижна сфера с радиус $R = 60\ \mathrm{cm}$ е оставено свободно да се търкаля без хлъзгане еднородно кълбо с маса $m = 1\ \mathrm{kg}$ и радиус $r = 7\ \mathrm{cm}$, както е показано на фиг. 1. В началния момент от времето кълбото е неподвижно. Може да използвате, че инерчният момент на кълбото спрямо ос, минаваща през центъра му, е равен на $I = 2mr^2/5$. Приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$.

А) Ако първоначално центърът на кълбото е на височина $2r$ над най-ниската точка от сферата $O$, намерете големината на скоростта $v$ на центъра на кълбото, когато той се намира в най-ниската точка от своята траектория. [2 т.]

Б) На колко е равен периодът $T$ на малките трептения, които извършва кълбото, когато е оставено да се търкаля в непосредствена близост до т. $O$? За малки ъгли в радиани е изпълнено, че $\sin\theta \approx \theta$. [4 т.]

Решение

---

Оригинал в Архива: NOF3_2014_10-12problemsD2.pdf