Съдържание

НОФ 2015, III кръг (национален), 10–12 клас, втори ден — Задача 1. Процеси с идеален газ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2015

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА · Враца, 7 април 2015 г. · Тема за 10.–12. клас – II етап · 7 април 2015 г. · 7 т.

Внимание: Бележка към темата

Заглавната страница отпечатва „II етап“, докато каталогът сочи III кръг; отпечатаният текст е приет за меродавен.

Условие

В цилиндър с подвижно бутало се намират $n$ мола идеален газ с обем $V_0$ и температура $T_0$ . Започваме бавно да свиваме газа (равновесен процес) по такъв начин, че изменението на температурата на газа да е два пъти по-малко, отколкото ако свиването се извършваше адиабатно: $\Delta T = T - T_0 = (T_a - T_0)/2$ . Моларният топлинен капацитет на газа при постоянен обем е $C_V$ .

А) Представете на $TV$ -диаграма примерни графики на адиабатния процес и на разглеждания процес. [1 т.]

Б) Изведете уравнението на разглеждания процес $p = p(V)$ . [2 т.]

В) Изразете моларния топлинен капацитет $C$ на газа при разглеждания процес като функция от температурата и коментирайте резултата. [3 т.]

Г) Пресметнете моларния топлинен капацитет $C$ при температура $T = 3T_0/2$ , ако газът е хелий. [1 т.]

Отговори

Решение

TV-диаграма: по вертикалната ос T с отбелязани нива T_a, T и T_0, по хоризонталната ос V с отбелязани V и V_0. От точката (V_0, T_0) наляво нагоре излизат две криви: по-стръмната е означена „адиабата“ и при обем V достига T_a, а по-полегатата (разглежданият процес) при обем V достига T. Двете разлики T_a − T и T − T_0 са отбелязани със стрелки като ΔT; пунктирани линии свързват нивата с осите.

А) За правилна диаграма (вж. чертежа) ………………………………… 1 точка

Б) По условие

(1)\qquad T = \frac{T_0}{2} + \frac{T_a}{2}.

От уравнението на адиабатния процес $T_\mathrm{a}V^{\gamma-1} = T_0V_0^{\gamma-1}$ изразяваме температурата $T_\mathrm{a}$ , заместваме я в равенство (1) и получаваме

(2)\qquad T = \frac{T_0}{2}\left\{1 + \left(\frac{V_0}{V}\right)^{\gamma-1}\right\}.

………………………………………………… 1 точка

От уравнението на състоянието на идеален газ $pV = nRT$ изразяваме температурата $T$ , заместваме я в равенство (2) и получаваме търсеното уравнение на процеса:

(3)\qquad p = \left(\frac{nRT_0}{2}\right)V^{-1} + \left(\frac{nRT_0V_0^{\gamma-1}}{2}\right)V^{-\gamma}

…………………………………………… 1 точка

В) Моларният топлинен капацитет на газа е

(4)\qquad C = \frac{\Delta Q}{n\Delta T} = \frac{nC_v\Delta T + p\Delta V}{n\Delta T} = C_v + \frac{p\Delta V}{n\Delta T}.

От уравнение (2) определяме

\Delta T = \frac{T_0V_0^{\gamma-1}}{2}\left\{(V + \Delta V)^{1-\gamma} - V^{1-\gamma}\right\} =

\frac{T_0V_0^{\gamma-1}V^{1-\gamma}}{2}\left\{\left(1 + \frac{\Delta V}{V}\right)^{1-\gamma} - 1\right\} = \frac{T_0(1-\gamma)}{2V_0}\left(\frac{V_0}{V}\right)^{-\gamma}\Delta V,

където сме използвали приближението $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ при $x \ll 1$ . Заместваме $\Delta T$ в (4) и получаваме

(5)\qquad C = C_V + \frac{2pV_0}{(1-\gamma)nT_0}\left(\frac{V}{V_0}\right)^{\gamma}

………………………………………………… 1 точка

Забележка. Ще получим същия резултат, ако пресметнем производната $\mathrm{d}T/\mathrm{d}V$ .

Изразяваме налягането $p$ от уравнението на състоянието на идеалния газ $p = nRT/V$ :

(6)\qquad C = C_V + \frac{2RT}{(1-\gamma)T_0}\left(\frac{V}{V_0}\right)^{\gamma-1}.

От равенство (2) следва, че $\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\gamma-1} = \frac{2T}{T_0} - 1$ и като отчетем, че

1 - \gamma = 1 - \frac{C_p}{C_v} = \frac{C_V - C_p}{C_V} = -\frac{R}{C_V},

за топлинния капацитет получаваме

(7)\qquad C = -\frac{C_V}{2\frac{T}{T_0} - 1}

……………………………………………………………… 1 точка

Следователно моларният топлинен капацитет на идеалния газ при разглеждания процес зависи от температурата. Той има отрицателна стойност. Тъй като в случая $\Delta T > 0$ – при свиването на газа температурата нараства, съгласно формула (4) от $C < 0$ следва, че $\Delta Q < 0$ ,

т.е. газът отдава топлина на околната среда. Външните сили извършват положителна работа и предават енергия на газа. Част от тази енергия отива за увеличаване на вътрешната енергия на газа – той се нагрява, а останалата част се отдава под формата на топлина на околната среда………………………………………………… 1 точка

Г) Като отчетем, че хелият е едноатомен газ, заместваме в уравнение (7) $C_V = \frac{3}{2}R$ , $T = \frac{3}{2}T_0$ и получаваме $C = -\frac{3}{4}R$ .…………………………………… 1 точка

Оригинал в Архива: NOF3_2015_10-12problemsD2.pdf · официални решения: NOF3_2015_10-12solutionsD2.pdf