НОФ 2016, II кръг (областен), 9. клас — Задача 1. Заредени топчета на нишки

• $|Q| = \frac{\sqrt{2}}{2}q \ \ (\text{зарядът е отрицателен}), \qquad T = mg + \frac{kq^2}{d^2}$

  Долното топче е отрицателно заредено; големината на заряда му е $\frac{\sqrt{2}}{2}q \approx 0{,}71q$, а силата на опън на всяка нишка е $T = mg + kq^2/d^2$.

Разстоянието между долното топче и всяко едно от горните две е $d/\sqrt{2}$. [1 т.] Долното топче е отрицателно заредено, тъй като закачените топчета са с положителни заряди и се отблъскват. [1 т.] От симетрията на системата следва, че на закачените топчета действат еднакви по големина сили и е достатъчно да разгледаме само едно от тях, например дясното топче. На дясното топче действат четири сили: гравитационна с големина $\mathrm{mg}$ [0,5 т.], насочена вертикално надолу; електрична Кулонова сила с големина $\mathrm{F_1} = kq^2/d^2$ [1 т.], насочена хоризонтално надясно; електростатична сила с големина $\mathrm{F_2} = 2kq|Q|/d^2$ [1 т.], насочена към третото топче и сила на опън на нишката $\mathrm{T}$, насочена вертикално нагоре. [0,5 т.] Условието за равновесие на топчето по хоризонтално направление води до изискването сумата от двете Кулонови сили да е насочена вертикално надолу. [1 т.] Нека да означим големината на тази сумарна сила с $\mathrm{F_R}$. Векторният триъгълник, който е показан на Фиг. 1, е равнобедрен и правоъгълен [0,5 т.], откъдето следва, че $\mathrm{F_2} = \sqrt{2}\mathrm{F_1}$ [1 т.] и $\mathrm{F_R} = \mathrm{F_1}$. [0,5 т.] От първото уравнение имаме, че $|Q| = \frac{\sqrt{2}}{2}q$. [1 т.] Като използваме второто уравнение, получаваме, че $\mathrm{T} = mg + \mathrm{F_R} = mg + kq^2/d^2$. [1 т.]