Съдържание

НОФ 2016, III кръг (национален), 9. клас — Задача 1. Електрическа схема

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2016

Национална олимпиада по физика 2016, национален кръг, тема за 9. клас · 5 април 2016 г. · 10 т.

Условие

Електрическа схема: батерия E, последователен резистор R1 и два успоредни резистора R2 и Rx. — Фиг.1 — батерия с ЕДН $E$ , резистор $R_1$ и успоредно свързаните $R_2$ и $R_x$ .

Електрическата схема, показана на фигурата, съдържа батерия с електродвижещо напрежение $E$ и три резистора с електрическо съпротивление $R_1$ , $R_2$ и $R_x$ . През тези три резистора текат неизвестни токове съответно $I_1$ , $I_2$ и $I_x$ .

а) Получете формула за тока $I_x$ . [2 т.]

б) Получете формула за отделящата се електрична мощност $P_x$ върху резистора $R_x$ . [1 т.]

в) Нека $E = 10$ V, $R_1 = R_2 = 10\ \Omega$ . Начертайте графика на зависимостта на мощността $P_x$ от стойността на резистора $R_x$ , когато тя се изменя в интервала ( $0\ \Omega$ , $50\ \Omega$ ). Намерете от графиката за каква стойност на резистора $R_x$ , мощността $P_x$ е максимална. Колко е максималната стойност на $P_x$ ? [4 т.]

г) Ако приемете, че $R_1 = R_2 = R$ , получете формули за стойността на съпротивлението на резистора $R_x$ , при която мощността $P_x$ е максимална, както и за стойността на тази максимална мощност $P_x$ . [3 т.]

Отговори

Решение

а) За да намерим тока $I_x$ , може да използваме следните зависимости: трите тока $I_1$ , $I_2$ и $I_x$ са свързани с равенството $I_1 = I_2 + I_x$ (1), [0.3 т.] напреженията върху резисторите $R_2$ и $R_x$ са равни: $I_2R_2 = I_xR_x$ (2), [0.3 т.] сумата от напреженията върху $R_1$ и $R_2$ са равни на електродвижещото напрежение на батерията: $E = I_1R_1 + I_2R_2$ . (3) [0.4 т.] От (2) можем да изразим $I_2$ чрез $I_x$ , $I_2 = \frac{R_x}{R_2}I_x$ . (4) От (3) и (4) можем да изразим $I_1$ чрез $I_x$ , $I_1 = \frac{E-R_2I_2}{R_1} = \frac{E}{R_1} - \frac{R_x}{R_1}I_x$ . (5) Замествайки (5) и (4) в (1), получаваме $I_x = \frac{ER_2}{R_x(R_1+R_2)+R_1.R_2}$ . [1 т.]

б) Отделящата се електрична мощност $P_x$ върху резистора $R_x$ е $P_x = I_x^{\,2}.R_x =$ [0.5 т.] $= \frac{E^2R_2^{\,2}R_x}{[R_x(R_1+R_2)+R_1.R_2]^2}$ . (6) [0.5 т.]

в) При $E = 10$ V и $R_1 = R_2 = 10\ \Omega$ , (6) става $P_x = \frac{10^2 10^2 R_x}{[R_x20+10.10]^2} = \frac{R_x}{\left[\frac{R_x}{5}+1\right]^2}$ . [0.5 т.]

Първоначално задаваме няколко стойности за $R_x$ , за да се ориентираме как изглежда зависимостта $P_x = f(R_x)$ . След това продължаваме да даваме стойности по-нагъсто около намерения (последния намерен) максимум. [0.5 т.] Чертаем графиката. [2 т.]

$R_x$ , $\Omega$	$P_x$ , W
0	0
10	1,11
20	0,80
30	0,61
40	0,49
50	0,41

Точкова графика P_x (W) спрямо R_x (Ω) от 0 до 50 Ω с максимум около 1,25 W при 5 Ω. — Графика на $P_x$ в зависимост от $R_x$ по табличните стойности; максимумът е при $R_x = 5\ \Omega$ .

$R_x$ , $\Omega$	$P_x$ , W
5	1,25
15	0,94
3	1,17
7	1,22
4	1,24
6	1,24

От графиката се вижда, че стойността на резистора $R_x$ , за която мощността $P_x$ е максимална, е $R_x = 5\ \Omega$ . [0.5 т.] Максималната мощност е $P_x = 1,25$ W. [0.5 т.]

г) При $R_1 = R_2 = R$ , формула (6) се превръща в $P_x = \frac{E^2R^2R_x}{[R_x2R+R^2]^2} = \frac{E^2R_x}{[2R_x+R]^2}$ . (7) [0.5 т.] Можем да преобразуваме (7) като квадратно уравнение за $R_x$ с параметър $P_x$ . То ще изглежда така: $4P_xR_x^{\,2} + (4P_xR - E^2)R_x + P_xR^2 = 0$ . (8) [0.5 т.] В зависимост от стойността на $P_x$ , (8) може да има 2 решения, едно решение или да няма решение. $P_x$ е максимална, когато (8) има едно решение. Тогава дискриминантата на (8) е нула: $D = (4P_xR - E^2)^2 - 16P_x^{\,2}R^2 = 0$ . [1 т.] След опростяване, намираме $P_x = \frac{E^2}{8R}$ . [0.5 т.] От (8) за $R_x$ се получава $R_x = \frac{R}{2}$ . [0.5 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2016_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2016_9solutions.pdf