НОФ 2017, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Кинематика

• ЧАСТ А. $v_1 = \frac{2n+1}{3n}\bar{v} \approx 10{,}7\ \mathrm{m/s},\qquad v_2 = nv_1 = \frac{2n+1}{3}\bar{v} = 16\ \mathrm{m/s}$
• ЧАСТ Б. а) $t = \frac{v_0}{g}\left[1 + \sqrt{1 + \frac{2gH}{v_0^2}}\,\right] \approx 7{,}1\ \mathrm{s}$
• ЧАСТ Б. б) $v = gt_2 = v_0\sqrt{1 + \frac{2gH}{v_0^2}} \approx 63\ \mathrm{m/s}$

ЧАСТ А. Да означим разстоянието между двете гари с $s$, а времето за изминаването му с $t = t_1 + t_2 + t_3$. Тогава имаме $\bar{v} = \dfrac{s}{t}$, $t_1 = t_3 = \dfrac{s}{3v_1}$, $t_2 = \dfrac{s}{3v_2} = \dfrac{s}{3nv_1}$, $\bar{v} = \dfrac{3n}{2n+1}\,v_1$. [1 т.]

За търсените скорости в различните участъци получаваме $v_1 = \dfrac{2n+1}{3n}\,\bar{v} \approx 10{,}7\ \mathrm{m/s}$ [1 т.] и $v_2 = nv_1 = \dfrac{2n+1}{3}\,\bar{v} = 16\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

ЧАСТ Б. а) В момента на отделяне на предмета от балона той има скорост $v_0$, насочена нагоре, и ускорение $g$, насочено надолу към земната повърхност. Следователно до падането си на земята предметът извършва два вида движение: отначало равнозакъснително, а след това свободно падане (равноускорително) [1 т.]. Да означим общото време с $t = t_1 + t_2$. Тогава от закона за скоростта при равнозакъснително движение имаме $v = v_0 - gt_1 = 0 \;\Rightarrow\; t_1 = \dfrac{v_0}{g}$. [1 т.]

Предметът след време $t_1$ ще достигне максимална височина $h = H + \dfrac{v_0t_1}{2} = H + \dfrac{v_0^2}{2g}$. [1 т.]

От тази височина предметът пада свободно за време $t_2$. Тогава имаме $h = \dfrac{gt_2^2}{2} \;\Rightarrow\; t_2 = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \dfrac{v_0}{g}\sqrt{1 + \dfrac{2gH}{v_0^2}}$. [1 т.]

Окончателно времето за падане на предмета на земята е $t = \dfrac{v_0}{g}\left[1 + \sqrt{1 + \dfrac{2gH}{v_0^2}}\,\right] \approx 7{,}1\ \mathrm{s}$. [1,5 т.]

б) Скоростта, с която предметът пада на земята се определя с израза $v = gt_2 = v_0\sqrt{1 + \dfrac{2gH}{v_0^2}} \approx 63\ \mathrm{m/s}$. [1,5 т.]