Съдържание

НОФ 2018, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Кинематика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, областен кръг, Тема за 8. клас (втора състезателна група) · 18 февруари 2018 г. · 10 т.

Условие

Част I (2 т.)

Автомобилист се движи по прав път със скорост $v_0 = 20\ \mathrm{m/s}$ . Шофьорът натиска спирачките на своя автомобил, когато вижда неравност, която се намира на разстояние $s = 60\ \mathrm{m}$ на пътя пред него. След това колата се движи равнозакъснително за време $t = 5\ \mathrm{s}$ , докато стигне до неравността.

Намерете скоростта $v$ на автомобила в този момент.

Част II

Михаил и Данаил решили да се състезават с автомобили, като карат по прав участък от пътя. Михаил тръгва с ускорение $a_{\mathrm{М}} = 1\ \mathrm{m/s^2}$ , а Данаил тръгва от същата позиция, но с $t_0 = 3\ \mathrm{s}$ по-късно от Михаил, като се движи с ускорение $a_{\mathrm{Д}} = 4\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) Намерете разстоянието $s$ от старта до мястото, където Данаил изпреварва Михаил. [2,5 т.]

б) Определете скоростите $v_{\mathrm{М}}$ и $v_{\mathrm{Д}}$ на двамата в момента на изпреварването. [3 т.]

в) В момента на изпреварването Михаил започва да се движи с ускорение $a'_{\mathrm{М}} = 5\ \mathrm{m/s^2}$ . Колко време $t'$ след този момент Михаил ще задмине Данаил? [2,5 т.]

Решение

Част I

Изминатият път от момента, когато шофьорът забелязва неравността, докато стига до нея, е $s = v_0t - \frac{at^2}{2}$ [0,5 т.], където $t$ е съответното време за движение, а $a$ е ускорението, с което автомобилът се движи равнозакъснително. Скоростта на колата в този момент е $v = v_0 - at$ . [0,5 т.] Като изключим ускорението от двете уравнения, ще получим, че $v = \frac{2s}{t} - v_0 = 4\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

Част II

а) Пътят, който изминава Михаил до момента на изпреварването, е $s_{\mathrm{М}} = \frac{a_{\mathrm{М}}t^2}{2}$ [0,5 т.], където $t$ е неговото време за движение. Изразът за изминатия път от Данаил, който тръгва по-късно, е $s_{\mathrm{Д}} = \frac{a_{\mathrm{Д}}(t-t_0)^2}{2}$ . [0,5 т.] Очевидно $s_{\mathrm{М}} = s_{\mathrm{Д}}$ , откъдето следва, че $t = \frac{t_0}{1-\sqrt{a_{\mathrm{М}}/a_{\mathrm{Д}}}}$ . [0,5 т.] Като заместим $t$ в някой от горните два израза за пътищата, ще получим търсеното разстояние $s = s_{\mathrm{М}} = s_{\mathrm{Д}} = \frac{a_{\mathrm{М}}t_0^2}{2\left(1-\sqrt{a_{\mathrm{М}}/a_{\mathrm{Д}}}\right)^2} = 18\ \mathrm{m}$ . [1 т.]

б) Скоростта на Михаил в момента на изпреварването е $v_{\mathrm{М}} = a_{\mathrm{М}}t$ [0,5 т.], а скоростта на Данаил е $v_{\mathrm{Д}} = a_{\mathrm{Д}}(t-t_0)$ [0,5 т.]. Като заместим $t$ от подточка а) в двата израза за скоростите, получаваме, че $v_{\mathrm{М}} = \frac{a_{\mathrm{М}}t_0}{1-\sqrt{a_{\mathrm{М}}/a_{\mathrm{Д}}}} = 6\ \mathrm{m/s}$ [1 т.], а $v_{\mathrm{Д}} = \frac{t_0\sqrt{a_{\mathrm{М}}a_{\mathrm{Д}}}}{1-\sqrt{a_{\mathrm{М}}/a_{\mathrm{Д}}}} = 12\ \mathrm{m/s}$ [1 т.].

в) Пътят, който изминава Михаил от момента на първото изпреварване до момента на второто изпреварване, е $s'_{\mathrm{М}} = v_{\mathrm{М}}t' + \frac{a'_{\mathrm{М}}t'^2}{2}$ [0,5 т.], където $t'$ е търсеното време. Изразът за пътя, изминат от Данаил през това време, е $s'_{\mathrm{Д}} = v_{\mathrm{Д}}t' + \frac{a_{\mathrm{Д}}t'^2}{2}$ . [0,5 т.] Отново имаме, че $s'_{\mathrm{М}} = s'_{\mathrm{Д}}$ , откъдето следва, че $t' = \frac{2(v_{\mathrm{Д}}-v_{\mathrm{М}})}{a'_{\mathrm{М}}-a_{\mathrm{Д}}} = \frac{2t_0\left(\sqrt{a_{\mathrm{М}}a_{\mathrm{Д}}}-a_{\mathrm{М}}\right)}{\left(a'_{\mathrm{М}}-a_{\mathrm{Д}}\right)\left(1-\sqrt{a_{\mathrm{М}}/a_{\mathrm{Д}}}\right)} = 12\ \mathrm{s}$ . [1,5 т.]

Забележка

Всяка задача се оценява с максимален брой 10 точки.

Внимание! (важи за решенията на всички задачи)

За всякакви алтернативни решения, обяснени ясно и получаващи същите резултати, да се присъжда пълния брой точки, посочени за съответното подусловие.

Оригинал в Архива: NOF2_2018_8problems.pdf · официални решения: NOF2_2018_8solutions.pdf