НОФ 2019, II кръг (областен), 9. клас — Задача 1. Измервания в електрическа верига с N резистора

• а) $R_k = \frac{kR\,(N-k)R}{kR+(N-k)R} = \frac{k(N-k)R}{N}$

  Двете точки делят веригата на две успоредно свързани групи от $k$ и $N-k$ резистора.

• б) $R_k = 60\,k(6-k)\ \Omega:\quad R_1 = R_5 = 300\ \Omega,\ R_2 = R_4 = 480\ \Omega,\ R_3 = 540\ \Omega$

  Графиката е симетрична спрямо $k = 3$, където $R_k$ има максимум.

• в) $N = \frac{4R_1-R_2}{2R_1-R_2} = 12,\qquad R = R_1\frac{N}{N-1} = 110\ \Omega\cdot\frac{12}{11} = 120\ \Omega$

  Две числени стойности: $N = 12$ (цяло число, точно) и $R = 120\ \Omega$ (допуск $\pm 1\ \Omega$).

а) Когато с омметър се измерва електрическото съпротивление между две точки от веригата, между които се намират $k$ резистора, всъщност се измерва съпротивлението на верига, съдържаща две успоредно свързани групи от съпротивления. [0,5 т.] Едната група съдържа $k$ последователно свързани съпротивления, а другата $N - k$ последователно свързани съпротивления. [0,5 т.] Следователно измереното съпротивление ще бъде $R_k = \dfrac{kR(N-k)R}{kR+(N-k)R} = \dfrac{k(N-k)R}{N}$. [2 т.]

б) За $R = 360\ \Omega$ и $N = 6$ изчислените стойности на $R_k$ са дадени в таблицата. [1 т.] С тези данни графиката на зависимостта на $R_k$ от $k$ изглежда така: [2 т.]

в) От получената формула в подусловие а) следва, че $R_1 = \dfrac{(N-1)R}{N}$, а $R_2 = \dfrac{2(N-2)R}{N}$. От тези две равенства може да се получат неизвестните $N$ и $R$. Ако разделим двете равенства, се получава $\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{N-1}{2(N-2)}$. След решаване на последното уравнение, $N = \dfrac{4R_1-R_2}{2R_1-R_2}$. [1 т.] След заместване, имаме $N = \dfrac{4.110\ \Omega - 200\ \Omega}{2.110\ \Omega - 200\ \Omega} = \dfrac{240\ \Omega}{20\ \Omega} = 12$. [1 т.] Неизвестното $R$ може да се намери от едно от първите две равенства. Например от първото, $R = R_1\dfrac{N}{N-1} =$ [1 т.] $110\ \Omega\,\dfrac{12}{11} = 120\ \Omega$. [1 т.]