Съдържание

НОФ 2019, III кръг (национален), 9. клас — Задача 1. Хлъзгащо се трупче

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2019

Национална олимпиада по физика 2019, национален кръг, III състезателна група (9. клас) · 5 април 2019 г. · 10 т.

Условие

Трупчето върху горния хоризонтален участък, склона с височина $h$ и долния участък.

Трупче с маса $m = 1\ \mathrm{kg}$ се хлъзга по хоризонтална повърхност с неизвестна начална скорост $v_0$ към идеално гладък склон, който се намира на неизвестно разстояние $\ell_1$ от началното положение на трупчето. Трупчето достига склона със скорост $v_0/2$ . След плавно спускане по склона, който е с неизвестна височина $h$ , трупчето продължава да се хлъзга по друг хоризонтален участък, който има дължина $\ell_2 = 20\ \mathrm{m}$ . Скоростта на трупчето в десния край на долната хоризонтална повърхност е $v_0/3$ . Неизвестният коефициент на триене $k$ при хлъзгането по хоризонталните участъци е един и същ. Времето за движение на трупчето по долната хоризонтална повърхност е два пъти по-голямо от времето за движение по горния хоризонтален участък. Работата, която извършва силата на триене при движението на трупчето по хоризонталните повърхности, има стойност $A_{\mathrm{тр}} = -58\ \mathrm{J}$ . Приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

а) Намерете на колко е равно разстоянието $\ell_1$ . [5,5 т.]

б) Определете коефициента на триене при хлъзгане $k$ . [1,5 т.]

в) На колко е равна големината на началната скорост $v_0$ ? [1 т.]

г) Намерете височината $h$ на склона. [2 т.]

Отговори

Решение

а) Върху двете хоризонтални повърхности трупчето се движи равнозакъснително с ускорение $a$ , породено от силата на триене при хлъзгане $f = kN = kmg$ , откъдето $a = kg$ . [0,5 т.] Изминатият от трупчето път върху горния хоризонтален участък е $\ell_1 = v_0t_1 - \frac{kgt_1^2}{2}$ [0,5 т.], където $t_1$ е времето за достигане на склона. Крайната скорост на трупчето върху горната хоризонтална повърхност е $\frac{v_0}{2} = v_0 - kgt_1$ [0,5 т.], т.е. $t_1 = \frac{v_0 - v_0/2}{kg} = \frac{v_0}{2kg}$ . [0,5 т.]

Като заместим $t_1$ в израза за пътя, ще получим, че $\ell_1 = \frac{3v_0^2}{8kg}$ . [0,5 т.] След спускането по склона, трупчето се движи равнозакъснително с начална скорост $v_0'$ , т.е. крайната му скорост по долния хоризонтален участък е $v_0/3 = v_0' - kgt_2$ [0,5 т.], където $t_2$ е съответното време за движение. Следователно $t_2 = \frac{v_0' - v_0/3}{kg}$ . [0,5 т.] Дадено е, че $t_2 = 2t_1 = \frac{v_0}{kg}$ , откъдето $v_0' = \frac{4v_0}{3}$ . [0,5 т.]

Оттук следва, че по долната хоризонтална повърхност трупчето изминава път $\ell_2 = v_0't_2 - \frac{kgt_2^2}{2} = \frac{4v_0^2}{3kg} - \frac{v_0^2}{2kg} = \frac{5v_0^2}{6kg}$ . [0,5 т.] За изминатото разстояние по горния хоризонтален участък получаваме: $\ell_1 = \frac{3v_0^2}{8kg} = \frac{9\ell_2}{20} = 9\ \mathrm{m}$ . [1 т.]

б) Силата на триене при хлъзгане извършва обща работа $A_{\mathrm{тр}} = -kmg(\ell_1 + \ell_2)$ [0,5 т.], откъдето $k = -\frac{A_{\mathrm{тр}}}{mg(\ell_1+\ell_2)} = -\frac{20A_{\mathrm{тр}}}{29mg\ell_2} = 0{,}2$ . [1 т.]

в) От израза за изминатия път по долния хоризонтален участък следва, че началната скорост $v_0 = \sqrt{\frac{6kg\ell_2}{5}} = \sqrt{-\frac{24A_{\mathrm{тр}}}{29m}} \approx 6{,}9\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

г) При спускането на трупчето по склона се запазва неговата механична енергия: $E_1 = E_{\mathrm{к}1} + E_{\mathrm{п}1} = \frac{mv_0^2}{8} + mgh = \frac{mv_0'^2}{2} = \frac{8mv_0^2}{9} = E_{\mathrm{к}2} = E_2$ , където величините с индекс „1“ се отнасят за момента непосредствено преди спускането, а величините с индекс „2“ се отнасят за трупчето в подножието на склона. [1 т.] Оттук получаваме, че височината на склона е $h = \frac{55v_0^2}{72g} \approx 3{,}7\ \mathrm{m}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2019_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2019_9solutions.pdf