Съдържание

НОФ 2022, II кръг (областен), 11. клас — Задача 1. Пряк свободен удар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2022

Олимпиада по физика 2022, областен кръг, тема за V състезателна група (11. клас) · 19 февруари 2022 г. · 10 т.

Условие

Футболист изпълнява пряк свободен удар, като изритва топката от земната повърхност с начална скорост $v_0 = 17\ \mathrm{m/s}$ под определен ъгъл спрямо хоризонта. Топката достига максимална си височина със скорост $v_1 = 15\ \mathrm{m/s}$ и пада на земята, без да се удари по пътя си в друг играч или във вратата. Съпротивлението на въздуха се пренебрегва. Приемете, че $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Намерете максималната височина H, на траекторията на топката и разстоянието L, на което топката пада от точката на изпълнение на удара. [10 точки]

Упътване. Търсените величини може да бъдат определени в различна последователност в зависимост от метода на решаване на задачата.

Отговори

Решение

Тъй като съпротивлението на въздуха е пренебрежимо, приемаме, че пълната механична енергия на топката се запазва. От закона за запазване на механичната енергия следва, че:

(1)\qquad \frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + mgH,

(1 т)

откъдето намираме:

(2)\qquad H = \frac{v_0^2 - v_1^2}{2g} = 3{,}2\ \mathrm{m}.

(1 т)

Коментар. При липсващ аналитичен израз или при грешен числен отговор се отнемат по 0,5 точки.

При движение под действие на силата на тежестта хоризонталната компонента на скоростта на топката се запазва, т.е. $v_x = \mathrm{const}$ . От друга страна, вертикалната компонента на скоростта е нула в най-високата точка от траекторията. Следователно:

(3)\qquad v_x = v_1.

(1 т)

В момента на изстрелването на топката $v_0^2 = v_x^2 + v_{0y}^2$ , където $v_{0y}$ е вертикалната компонента на началната скорост. Следователно:

(4)\qquad v_{0y} = \sqrt{v_0^2 - v_1^2}

(1 т)

След изстрелването на топката, хоризонталната ѝ координата x и вертикалната ѝ координата y (т.е. височината над земната повърхност) се променят съответно по закона:

(5)\qquad x = v_x t = v_1 t

(1 т)

(6)\qquad y = v_{0y} t - \frac{g t^2}{2}.

(1 т)

В момента $t_2$ , когато топката се приземява, вертикалната ѝ координата е нула, т.е.

(7)\qquad v_{0y} t_2 - \frac{g t_2^2}{2} = 0.

(1 т)

Оттук намираме времето за полета на топката:

(8)\qquad t_2 = \frac{2 v_{0y}}{g}

(1 т)

и съответно изразяваме далечината на полета:

(9)\qquad L = v_1 t_2 = \frac{2 v_1 \sqrt{v_0^2 - v_1^2}}{g}.

(1 т)

След като заместим с числените данни, получаваме:

(10)\qquad L = \frac{2 \cdot 15\ \mathrm{m/s} \cdot 8\ \mathrm{m/s}}{10\ \mathrm{m/s^2}} = 24\ \mathrm{m}.

(1 т)

Алтернативно решение

Възможно е ученикът първо да определи разстоянието L, като следва стъпките от (3) до (10), за което му се присъждат предвидените в решението общо 8 точки. След това, височината H може да бъде намерена кинематично в следните три стъпки, които носят общо 2 точки.

Вертикалната компонента на скоростта на топката се променя по закона:

(11)\qquad v_y = v_{0y} - g t.

(0,5 т)

В момента на достигане на максимална височина $v_y = 0$ , откъдето изразяваме времето за издигане на топката:

(12)\qquad t_{\text{и}} = \frac{v_{0y}}{g}.

(0,5 т)

След като заместим времето в уравнение (6) и вземем предвид уравнение (4), определяме максималната височина:

(13)\qquad H = y(t_{\text{и}}) = \frac{v_0^2 - v_1^2}{2g} = 3{,}2\ \mathrm{m}.

(1 т)

Както при енергетичния метод за решаване, при липсващ аналитичен израз или при грешен числен отговор се отнемат по 0,5 точки.

Оригинал в Архива: NOF2_2022_11problems.pdf · официални решения: NOF2_2022_11solutions.pdf