Съдържание

Условие Част 1. Объркани измервания (5 т.)Част 2. Електрическо „Лего” (5 т.)Решение

НОФ 2024, III кръг (национален), 9. клас — Задача 1. Електрически микс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2024

Национална олимпиада по физика 2024, национален кръг, тема за трета състезателна група (9. клас) · 29 март 2024 г. · 10 т.

Условие

Задачата се състои от две независими части, които може да решавате в ред, който предпочитате.

Част 1. Объркани измервания (5 т.)

Иван и Гергана правили в клас лабораторно упражнение на тема „Опитно определяне на съпротивлението на резистор”. Разполагали с резистор с неизвестно съпротивление $R$ , източник на постоянно напрежение, волтметър и амперметър. Иван свързал схема №1, показана на фиг. 1.1, и отчел показания на волтметъра и на амперметъра съответно $U_1 = 9{,}2\ \mathrm{V}$ и $I_1 = 11{,}5\ \mathrm{mA}$ . Гергана свързала схема №2 и установила, че показанията на двата уреда са съответно $U_2 = 8{,}9\ \mathrm{V}$ и $I_2 = 12{,}0\ \mathrm{mA}$ . След като не могли да разберат защо в двата случая се получават различни резултати, учителката им подсказала, че волтметърът и амперметърът не са идеални прибори, а имат определено вътрешно съпротивление, т.е. измервателните уреди може да се разглеждат като консуматори, всеки със свое характерно съпротивление.

Като използвате данните от двете измервания, пресметнете вътрешното съпротивление $R_\mathrm{A}$ на амперметъра, вътрешното съпротивление $R_\mathrm{V}$ на волтметъра и неизвестното съпротивление $R$ на резистора.

Две схеми: в схема 1 волтметърът е свързан към полюсите на източника, а амперметърът последователно с R; в схема 2 волтметърът е успоредно на R, а амперметърът е последователно на групата.

Част 2. Електрическо „Лего” (5 т.)

Конструктор тип „Лего” се състои от еднакви елементи (секции), съдържащи по три еднакви резистора със съпротивление $R$ всеки, свързани под формата на буква „П” (фиг. 1.2). Елементите може да се свързват помежду си в редица по начина, показан на фигурата. Многоточията на фигурата означават, че може да се свързват произволен брой секции. Резистор с какво съпротивление $R$ трябва да бъде свързан към изходните клеми C и D на последния елемент така, че еквивалентното съпротивление между свободните краища $A$ и $B$ на първия елемент да не зависи от броя на свързаните елементи?

Верига от повтарящи се секции, всяка с три резистора R0 във формата на буквата П; свободните краища A и B са отляво, а към C и D отдясно е свързан резистор R.

Решение

Част. 1

В схема №1 волтметърът е свързан към полюсите на източника. Следователно напрежението на източника е:

(1)\qquad U_0 = U_1 = 9.2\ \mathrm{V}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Понеже в схема №2 амперметърът е свързан последователно на волтметъра и резистора, напрежението върху амперметъра е:

(2)\qquad U_\mathrm{A} = U_0 - U_2 = 0{,}3\ \mathrm{V}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

От закона на Ом определяме вътрешното съпротивление на амперметъра:

(3)\qquad R_\mathrm{A} = \frac{U_\mathrm{A}}{I_2} = \frac{0{,}3\ \mathrm{V}}{0{,}012\ \mathrm{A}} = 25\ \Omega. \qquad \textbf{[1,0 т]}

(0.5 т за прилагане на закона на Ом + 0.5 т за числен отговор)

Еквивалентното съпротивление на резистора и амперметъра от схема №1 е:

(4)\qquad R_{\mathrm{e}1} = \frac{U_1}{I_1} = 800\ \Omega. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Понеже амперметърът и резисторът в тази схема са свързани последователно:

(5)\qquad R_{\mathrm{e}1} = R + R_\mathrm{A}, \qquad \textbf{[0,5 т]}

откъдето намираме съпротивлението на резистора:

(6)\qquad R = R_{\mathrm{e}1} - R_\mathrm{A} = 775\ \Omega. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Еквивалентното съпротивление на успоредно свързаните резистор и волтметър от схема №2 е съответно:

(7)\qquad R_{\mathrm{e}2} = \frac{U_2}{I_2} \approx 741{,}7\ \Omega \qquad \textbf{[0,5 т]}

От друга страна за еквивалентното съпротивление на тази група №2 имаме:

(8)\qquad \frac{1}{R_{\mathrm{e}2}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_\mathrm{V}}, \qquad \textbf{[0,5 т]}

откъдето намираме:

(9)\qquad R_\mathrm{V} = \frac{R\,R_{\mathrm{e}2}}{R - R_{\mathrm{e}2}} \approx 17\ \mathrm{k\Omega}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Част. 2

Съпротивлението на веригата няма да зависи от броя свързани секции, ако еквивалентното съпротивление $R_{EF}$ на последната секция между входните клеми $E$ и F е равно на съпротивлението R на свързания към изходните клеми резистор:

(1)\qquad R_{EF} = R \qquad \textbf{[1,0 т]}

Вляво: секция с три резистора R0 и резистор R между C и D; вдясно: еквивалентен единичен резистор R между E и F.

За есвивалентна схема: [0,5 т]

Еквивалентното съпротивление на трите последователно свързани резистора в клона ECDF е:

(2)\qquad R' = 2R_0 + R. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Понеже трите резистора са свързани успоредно на левия резистор:

(3)\qquad R_{EF} = \frac{R_0 R'}{R_0 + R'} = \frac{2R_0^2 + R_0 R}{3R_0 + R}. \qquad \textbf{[1,0 т]}

От условието (1) получаваме квадратно уравнение за R:

(4)\qquad R^2 + 2R_0 R - 2R_0^2 = 0, \qquad \textbf{[1,0 т]}

което има два корена: $R_{1,2} = \left(-1 \pm \sqrt{3}\right)R_0$ , от които физически смисъл има само положителният корен:

(5)\qquad R = \left(\sqrt{3} - 1\right)R_0\ (\approx 0{,}732 R_0). \qquad \textbf{[1,0 т]}

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Електричество · Постояннотокови вериги · Електрични измервания

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF3_2024_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2024_9solutions.pdf