НОФ 2024, IV кръг, петточково контролно — Задача 1. Балистична ракета

Контролна работа – 5 точки/50 минути

Внимание: Бележка към темата

Файлът съдържа снимки на три отделни листа със задачи; в архива липсват официални решения.

Условие

От земната повърхност е изстреляна ракета с начална скорост v0v_0, равна на Първа космическа скорост, под ъгъл α\alpha спрямо хоризонта.

Окръжност (Земята) с радиус R, означен със стрелка от повърхността към центъра. От горната точка ракетата е изстреляна със скорост v0 под ъгъл α спрямо хоризонта; пунктирна траектория се издига на максимална височина H над повърхността и пада обратно; дъгата L по земната повърхност между точката на изстрелване и точката на падане е удебелена.
Фиг. 1
Елипса с голяма ос и фокус F върху нея; от F е издигнат перпендикуляр с дължина p до елипсата и е прекаран радиус r до точка от елипсата под ъгъл θ спрямо голямата ос.
Фиг. 2

а) На каква максимална височина HH над земната повърхност се издига ракетата?

б) На какво максимално разстояние LL от точката на изстрелване пада ракетата?

Изразете отговорите посредством α\alpha и радиуса RR на Земята. Съпротивлението на въздуха се пренебрегва. Разстоянието LL се измерва по земната повърност, както е показано на фиг. 1.

Полезна математика. Уравнението на елипса в полярни координати има вида:

r=p1−ecos⁡θ,r = \frac{p}{1 - e\cos\theta},

където pp и ee са съответно параметърът (т.нар. полуширина под прав ъгъл – semi-latus-rectum) и ексцентрицитетът на елипсата, rr е разстоянието до фокуса FF, а полярният ъгъл θ\theta се измерва спрямо голямата ос на елипсата, както е показано на фиг. 2.

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива липсва файл с решения

Оригинал в Архива: k5_zad.pdf