Съдържание

НОФ 2025, II кръг (областен), 10. клас — Задача 1. Електростатично взаимодействие

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА, ОБЛАСТЕН КРЪГ, 15 февруари 2025 г. · Тема за 10. клас (четвърта състезателна група) · 15 февруари 2025 г.

Условие

Две еднакви малки метални топчета, всяко с маса $m=5\ \mathrm{g}$ , са окачени на копринени нишки с еднаква дължина $l=0{,}5\ \mathrm{m}$ , които са закрепени в една и съща точка. След като топчетата получат еднакви заряди, те се отблъскват, при което ъгълът между нишките става равен на $90^{\circ}$ (фиг. 1).

Две еднакви топчета с означения m, q са окачени от обща точка на нишки с дължина l. Между нишките е означен прав ъгъл; топчетата са на една хоризонтала. — Фиг. 1

а) Какви сили действат на всяко едно от топчетата? [2,5 т.]

б) Намерете заряда на всяко топче. [3,5 т.]

Поради неизбежна загуба на заряд, топчетата започват да се приближават.

в) Определете каква част $x$ от заряда е загубило всяко топче, когато ъгълът между нишките стане равен на $60^{\circ}$ . [4 т.]

Земното ускорение $g\approx10\ \mathrm{m/s^2}$ , а константата в закона на Кулон $k=9\cdot10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$ .

Отговори

Решение

а) На всяко топче действат три сили – сила на тежестта $G=mg$ , насочена вертикално надолу [0,5 т.]; електрична сила на отблъскване $F_e$ , насочена хоризонтално съответно наляво (надясно) [1 т.]; сила $R$ на опън на нишката, която е успоредна на съответната нишка (фиг. 1) [1 т.]. Тъй като системата е симетрична по отношение на вертикалната права, минаваща през точката на окачване на нишките, ще разглеждаме само едното от топчетата (напр. лявото).

Силова схема при ъгъл 90° между нишките: опъни R, тежести G, електрични сили F_e, равнодействаща F_p и ъгли α₁ и 45°. — Фиг. 1

Силова схема при ъгъл 60° между нишките: α₂, разстояние r′, опън R′, електрична сила F′_e, тежест G, равнодействаща F′_p и ъгъл 30°. — Фиг. 2

б) Равнодействащата $F_p$ на силата на тежестта и на електричната сила уравновесява силата на опън на нишката, т.е. действа надолу и наляво под ъгъл $45^{\circ}$ спрямо вертикалата. От чертежа на фиг. 1 е ясно, че при $\alpha_1=45^{\circ}$ силите $F_e$ и $G$ образуват квадрат, т.е. $F_e=G$ . [1 т.]

От закона на Кулон:

F_e=\frac{kq^2}{r^2}

[0,5 т.]

където $r$ е разстоянието между топчетата. Понеже нишките сключват ъгъл $90^{\circ}$ , $r^2=l^2+l^2=2l^2$ . Следователно:

\frac{kq^2}{2l^2}=mg

[1 т.]

и окончателно намираме:

q=l\sqrt{\frac{2mg}{k}}\approx1{,}7\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}=1{,}7\ \mathrm{\mu C}\ .

[1 т.]

(0,5 т. за буквен израз + 0,5 т. за числена стойност)

в) При ъгъл между нишките, равен на $60^{\circ}$ , топчетата и точката на окачване образуват равностранен триъгълник, т.е. $r=l$ (фиг. 2). Следователно големината на електричната сила в този случай е:

F'_e=\frac{kq'^2}{l^2}

[1 т.]

От чертежа е ясно, че $\alpha_2=30^{\circ}$ . Тогава силите $F_e$ и $G$ са съответно срещулежащ и прилежащ катет в правоъгълен триъгълник с ъгъл при върха $30^{\circ}$ , т.е.

\frac{F_e}{G}=\operatorname{tg}30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\text{или}\quad\frac{kq'^2}{l^2}=\frac{mg}{\sqrt{3}}

[1 т.]

откъдето:

q'=l\sqrt{\frac{mg}{k\sqrt{3}}}=\frac{q}{\sqrt{2\sqrt{3}}}\approx0.54q

[1 т.]

Следователно зарядът на топчето е намалял с $\Delta q=q-q'=0.46q$ , т.е. относителното част на „изгубения” заряд е:

x=0{,}46.

[1 т.]

Теми и трудност

Оценена трудност: 3/5.

Електричество · Механика · Електростатика · Статично равновесие

Предпоставки: Гимназиална подготовка

Оригинал в Архива: NOF2_2025_10problems.pdf · официални решения: NOF2_2025_10solutions.pdf