Съдържание

НОФ 2025, II кръг (областен), 10. клас — Задача 3. Трептене на заредена частица

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА, ОБЛАСТЕН КРЪГ, 15 февруари 2025 г. · Тема за 10. клас (четвърта състезателна група) · 15 февруари 2025 г.

Условие

Върху изолирана хоризонтална спица е закрепен неподвижно положителен заряд $Q$ . По нея без триене може да се движи тяло с маса $m$ и електричен заряд по големина равен на $q$ (фиг. 3). Системата се намира в еднородно електрично поле с интензитет $E$ , успореден на хоризонталната спица.

Хоризонтална спица с неподвижен положителен заряд Q вляво и подвижно тяло вдясно с означения q над него и m под него. — Фиг. 3

а) При какъв знак на заряда $q$ и при каква посока на интензитета $E$ е възможно равновесно положение на тялото с маса $m$ ? Зависи ли равновесното положение от знака на заряда $q$ ? [2,5 т.]

б) На какво разстояние $r_0$ от неподвижния заряд $Q$ се намира равновесното положение? [1,5 т.]

в) Тялото с маса $m$ е отклонено от равновесното му положение на разстояние $x$ , много по-малко от разстоянието до неподвижния заряд ( $x\ll r_0$ ). При какъв знак на заряда $q$ на тялото ще действа връщаща сила $F$ ? [2,5 т.]

г) Определете периода $T$ на хармоничното трептене на тялото с маса $m$ , след като бъде оставено да се движи? [3,5 т.]

Отговори

Решение

а) В равновесното положение резултантната сила, действаща на частицата, е равна на нула. [0,5 т.] Това е възможно, когато силите, с които еднородното електрично поле и зарядът $Q$ действат на заряда $q$ , имат противоположни посоки. [0,25 т.] За положителен заряд $q$ силата $F_Q$ е насочена надясно. [0,5 т.] Тогава силата $F_E$ трябва да е насочена наляво, което означава, че интензитетът $E$ на еднородното поле ще е насочен наляво към заряда $Q$ [0,5 т.]. За отрицателен заряд $q$ силата $F_Q$ сменя посоката си (насочена е наляво), като при същата посока на интензитета силата $F_E$ ще е насочена надясно. [0,25 т.] Следователно, независимо от знака на заряда $q$ , само при една ориентация на интензитета (наляво) ще има равновесно положение. [0,5 т.]

б) Когато зарядът $q$ се намира в равновесното положение имаме

F_Q=k\frac{qQ}{r_0^2}\ ,

[0,5 т.]

F_E=qE\ .

[0,5 т.]

От равенството на силите намираме

r_0=\sqrt{\frac{kQ}{E}}\ .

[0,5 т.]

в) При отклоняване на тялото с положителен заряд $q$ на разстояние $x$ надясно силата $F_Q$ намалява, а силата $F_E$ остава постоянна по големина. [0,5 т.] Тогава резултантната сила $F=F_E-F_Q$ има посока наляво към равновесното положение (връщаща сила). [0,5 т.] При отклоняване наляво имаме $F_Q>F_E$ , като резултантната сила е насочена надясно – отново към равновесното положение. [0,5 т.] Следователно, при отклоняване на положителен заряд $q$ от равновесното положение възниква връщаща сила. [0,25 т.] При отклонението на отрицателен заряд $q$ надясно $F_E>F_Q$ и резултантната сила е насочена надясно, т.е. тя отдалечава частицата от равновесното положение. [0,25 т.] При отклонение наляво имаме $F_Q>F_E$ и посоката на резултантната сила е наляво. [0,25 т.] Следователно в случай на отклонение на отрицателен заряд $q$ не възниква връщаща сила. [0,25 т.]

г) Връщащата сила се дава с израза

F=qE-k\frac{qQ}{(r_0+x)^2}=q\frac{Er_0^2-kQ+2Er_0x+Ex^2}{(r_0+x)^2}\ .

[1 т.]

Като отчетем израза за $r_0$ и неравенството $x\ll r_0$ , намираме

F\approx\frac{2qE}{r_0}x=2q\sqrt{\frac{E^3}{kQ}}x=Kx\ .

[1 т.]

където:

K=2q\sqrt{\frac{E^3}{kQ}}

е коефициент на пропорционалност между връщащата сила и отклонението, т.е. ефективен „коефициент на еластичност”. Следователно подвижното тяло извършва хармонично трептене с период:

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}\ .

[0,5 т.]

Окончателно намираме:

T=\pi\sqrt{\frac{2m}{q}\sqrt{\frac{kQ}{E^3}}}\ .

[1 т.]

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Електричество · Механика · Електростатика · Електрично поле · Статично равновесие · Механични трептения

Предпоставки: Гимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF2_2025_10problems.pdf · официални решения: NOF2_2025_10solutions.pdf