НОФ 2025, II кръг (областен), 11. клас — Задача 1

• а) $T=m\omega^2l$

• б) $\cos\alpha=\frac{g}{\omega^2l}$

• в) $\omega>\sqrt{\frac{g}{l}}$

• г) $L=ml^2\omega\left[1-\left(\frac{g}{\omega^2l}\right)^2\right]\quad\text{при }\omega>\sqrt{\frac{g}{l}}$

  При по-малка ъглова скорост в официалното решение е дадено L = 0.

Задача 1. Въртене около вертикална ос.

а) От чертежа се вижда, че $T\sin\alpha=m\omega^2l\sin\alpha$ [1 т.] (центростремителната сила е хоризонталната проекция на силата на опън на нишката). Следователно $T=m\omega^2l$. [2 т.]

б) Тъй като $mg=T\cos\alpha$, [1 т.] то $\cos\alpha=\frac{mg}{T}=\frac{mg}{m\omega^2l}=\frac{g}{\omega^2l}$. [2 т.]

в) Тъй като $\cos\alpha=\frac{g}{\omega^2l}\le1$, то $\omega\ge\sqrt{\frac{g}{l}}$. Ъгълът $\alpha$ няма да е нула за $\omega>\sqrt{\frac{g}{l}}$. [1 т.]

г) Моментът на импулса $L$ на тялото е $L=I\omega$ [1 т.] $=m(l\sin\alpha)^2\omega=ml^2\omega\left[1-\left(\frac{g}{\omega^2l}\right)^2\right]$ при $\omega>\sqrt{\frac{g}{l}}$. [1.5 т.] При по-малка ъглова скорост $L=0$. [0.5 т.]