Съдържание

НОФ 2025, II кръг (областен), 12. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Областен кръг на олимпиадата по физика, 15.02.2025 г. · Тема за 6. състезателна група (учебно съдържание за 12. клас) · 15 февруари 2025 г.

Внимание: Бележка към темата

В официалното решение на задача 3 има печатни неточности във формулите за L, A′ и A″; те са запазени в текста на решението.

Упътване.

Упътване. Дадените решения са примерни. Всяко обосновано алтернативно решение се оценява по критерии на областната комисия, като се спазва максималният брой точки по отделните подусловия на всяка задача.

Условие

Задача 1. Окачване на фенер

Градински фенер с маса $m_1=2\ \mathrm{kg}$ е монтиран към стената на къща по начина, показан на фиг. 1. Фенерът виси на лека нишка, закачена към края $A$ на еднородна пръчка с дължина $\ell=0{,}5\ \mathrm{m}$ и маса $m_2=1\ \mathrm{kg}$ , наклонена по ъгъл $\theta$ спрямо стената на къщата. Краят $B$ на пръчката се опира на стената, без да е закрепен за нея. За да бъде пръчката в равновесие, краят $A$ e прикрепен към стената с лека хоризонтална нишка. Приемете, че земното ускорение е $g=10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Пръчка с маса m₂ и дължина ℓ между A и B, наклонена под ъгъл θ към вертикалната стена; хоризонтална нишка при A и фенер m₁ на вертикална нишка. — Фиг. 1

а) Направете чертеж, на който да изобразите всички сили, действащи на пръчката в съответните им приложни точки. (1,0 т)

б) Получете израз за силата $T$ на опън на хоризонталната нишка посредством дадените в условието величини. (4,0 т)

в) Получете израз за минималния коефициент на триене $k_{\min}$ между пръчката и стената, така че долният край на пръчката да не се хлъзга. (3,0 т)

г) Нека предположим, че хоризонталната нишка може да издържи максимална сила на опън $T_{\max}=100\ \mathrm{N}$ и коефициентът на триене между пръчката и стената е $k=0{,}6$ . Определете интервала от ъгли $\theta$ , за които системата е в равновесие. (2,0 т)

Отговори

Решение

Задача 1. Окачване на фенер

а) На пръчката действат следните пет сили:

Сила на опън $\vec{T}_1$ на вертикалната нишка, приложена в т. А, равна на теглото $m_1\vec{g}$ на фенера.
Сила на опън $\vec{T}$ на хоризонталната нишка, приложена в т. А.
Сила на тежестта $m_2\vec{g}$ , действаща в центъра на масата, т.е. в средата на пръчката.
Сила $\vec{R}$ на нормална реакция на стената, приложена в т. В.
Сила $\vec{f}$ на триене, действаща успоредно на стената в т. В.

Пръчка AB до стена под ъгъл θ; петте сили са опън T наляво при A, опън T₁ = m₁g надолу при A, тежест m₂g в средата, триене f нагоре при B и нормална реакция R надясно при B.

За всяка сила с вярно означена посока и приложна точка по 0,2 т – общо до 1,0 т.

б) Въртящият момент на приложените върху пръчката сили спрямо т. В е:

$M_1=m_1g\ell\sin\theta$ за теглото на фенера (1,0 т)

$M_2=m_2g\frac{\ell}{2}\sin\theta$ за силата на тежестта на пръчката (1,0 т)

$M_3=-T\ell\cos\theta$ за силата на опън на хоризонталната нишка (1,0 т)

Приема се и решение, при което знакът на $M_3$ е положителен, а на $M_1$ и $M_2$ – отрицателни.

От условието за равновесие:

M_1+M_2+M_3=0

(0,5 т)

получаваме търсения израз за силата на опън:

T=\left(m_1+\frac{m_2}{2}\right)g\operatorname{tg}\theta

(0,5 т)

в) За да бъде пръчката в равновесие, векторната сума на всички сили, които ѝ действат трябва да бъде нула. Ако разгледаме поотделно силите, действащи хоризонтално и вертикално, получаваме следните връзки между големините на силите:

по X: $R=T=\left(m_1+\frac{m_2}{2}\right)g\operatorname{tg}\theta$ (0,5 т)

по Y: $f=(m_1+m_2)g$ (0,5 т)

За да не се хлъзга пръчката, силата на триене със стената трябва да бъде по-малка от максималната сила на триене при покой:

f\le kR,

(1,0 т)

откъдето намираме, че при даден ъгъл $\theta$ минималният коефициент на триене е:

k_{\min}=\frac{f}{R}=\frac{m_1+m_2}{\left(m_1+\frac{m_2}{2}\right)\operatorname{tg}\theta}.

(1,0 т)

г) За да не се скъса нишката, е нужно $T\le T_{\max}$ , откъдето следва:

\operatorname{tg}\theta\le\frac{T_{\max}}{\left(m_1+\frac{m_2}{2}\right)g}.

(0,5 т)

За да не се хлъзга пръчката е нужно $k\ge k_{\min}$ , т.е.

\operatorname{tg}\theta\ge\frac{m_1+m_2}{\left(m_1+\frac{m_2}{2}\right)k}.

(0,5 т)

Като заместим с числените стойности на параметрите, намираме условието за равновесие:

2\le\operatorname{tg}\theta\le4\quad\Leftrightarrow\quad63{,}4^\circ\le\theta\le76{,}0^\circ

(1,0 т)

За верен отговор се приема както вариантът с неравенства за $\operatorname{tg}\theta$ , така и вариантът с неравенства за самия ъгъл $\theta$ . Ако в крайния отговор е получена или само долната, или само горната граница за $\operatorname{tg}\theta$ ( $\theta$ ), се отнема 0,5 т.

Теми и трудност

Оценена трудност: 3/5.

Механика · Статично равновесие · Момент на сила и лостове · Триене

Предпоставки: Гимназиална подготовка

Оригинал в Архива: NOF2_2025_12problems.pdf · официални решения: NOF2_2025_12solutions.pdf