НОФ 2025, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3

• 3.1. h = 104.8 ≈ 105 m.
• 3.2. t′ ≈ 4.9 s; vср = 22.9 m/s ≈ 23 m/s.

Решение 3.1. За да определим височината на водопада първо трябва да определим височината, от която пада парчето лед – $h_1$. Нека времето за падане на леда бъде $t_1$, тогава $h_1=gt_1^2/2$. (1 т.) След като падне звукът от разбиването на леда трябва да измине същото разстояние $h_1$ обратно до алпиниста. Ако това става за време $t_2$, то $h_1=ut_2=gt_1^2/2$. (1 т.) Общото време, което засича алпинистът е: $t=t_1+t_2$. (1 т.) Изразяваме $t_2=t-t_1$, заместваме в предпоследното равенство и получаваме квадратно уравнение за $t_1$: $gt_1^2/2+ut_1-ut=0$. (1 т.) Взимаме само положителния корен: $t_1=-u/g+\sqrt{u^2/g^2+2tu/g}$. (1 т.) Сега вече може да изразим $h_1=u(t-t_1)=ut+u^2/g-\sqrt{u^4/g^2+2tu^3/g}=64.8\approx 65\ \mathrm{m}$ (1 т.) и за височината на водопада получаваме $h=104.8\approx 105\ \mathrm{m}$. (1 т.)

Решение 3.2. Времето за падане на леда е $t'_1=\sqrt{2h/g}$, времето за достигане на звука от земята до алпиниста е $t'_2=h/u$, така за общото време получаваме $t'=t'_1+t'_2=\sqrt{2h/g}+h/u\approx 4.9\ \mathrm{s}$. (1 т.) Средната скорост е отношението на изминатия път $h$ към времето, за което го изминава $t'_1$ (1 т.) или $v_{\text{ср}}=h/t'_1=22.9\ \mathrm{m/s}\approx 23\ \mathrm{m/s}$. (1 т.)