Съдържание

НОФ 2025, III кръг (национален), 10. клас — Задача 1. Студени дни и работа на отоплителна печка с реле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА. Казанлък, 25–27 април 2025 г. Тема за IV състезателна група (10. клас) · 25 април 2025 г.

Условие

Електрически радиатор има терморегулатор (термореле), благодарение на което в отопляваното помещение се поддържа температура в интервал от $t - \Delta t/2$ до $t + \Delta t/2$ , където $t$ е средната температура в помещението, която се задава на терморегулатора, а $\Delta t$ е много малък температурен интервал, обикновено десети части от градуса. При включване на радиатора, нагревателят работи, докато температурата в помещението достигне $t + \Delta t/2$ . След това нагревателят се изключва и остава изключен, докато помещението се охлади до $t - \Delta t/2$ . После нагревателят отново се включва и цикълът от включване и изключване се повтаря периодично. Ще означаваме с $\tau$ времето, през което нагревателят е включен, а с $T$ – времето, през което е изключен.

В хладен есенен ден, когато температурата навън била $t_0 = 12^{\circ}\mathrm{C}$ , Чичо Скрудж, известен със своята пестеливост, забелязал, че времето за работа на нагревателя е двойно по-голямо от времето, през което е изключен. За да намали разхода на електричество, Чичо Скрудж задал на терморегулатора температура с $\Delta\theta = 2^{\circ}\mathrm{C}$ по-ниска, отколкото в началото. В резултат на това времето за работа на нагревателя станало двойно по-малко от времето, през което нагревателят е изключен.

а) На какви средни температури $t_1$ и $t_2$ бил настроен радиаторът съответно в началото и след като Чичо Скудж променил положението на терморегулатора. [5 т.]

б) Каква минимална температура $t_{\mathrm{м}}$ трябва да бъде зададена на терморегулатора, така че нагревателят да работи непрекъснато. [2 т.]

в) При каква средна температура $t_3$ в помещението нагревателят ще се включва с най-голяма честота. [3 т.]

Важна информация и жокери:

Приемете, че количеството топлина, което се отделя от стаята в околната среда за единица време, т.е. мощността P на топлинните загуби от помещението е пропорционална на разликата между средната температура $t$ в стаята и температурата $t_0$ на околната среда: $P = \alpha(t - t_0)$ , където $\alpha$ е коефициент на пропорционалност.
Топлинната мощност $P_0$ , отделена от нагревателя, когато е включен, е постоянна и не зависи от температурата в помещението.
Може да използвате обозначението $C = cm$ , за да означите т.нар. пълен топлинен капацитет на помещението, където $c$ и $m$ са съответно специфичният топлинен капацитет и масата на въздуха в помещението.

Отговори

Решение

А) При изключен нагревател стаята се охлажда от $t + \Delta t/2$ до $t - \Delta t/2$ за време $T$ . Отделеното от стаята в околната среда количество топлина е:

Q = C\Delta t = \alpha(t - t_0)T,

откъдето изразяваме времето, през което нагревателят е изключен:

T = \frac{C\Delta t}{\alpha(t - t_0)}. \qquad (1)

(1 т)

При включен нагревател стаята се загрява от $t - \Delta t/2$ до $t + \Delta t/2$ за време $\tau$ . За това време нагревателят отделя количество топлина $P_0\tau$ на въздуха в стаята, а стаята губи количество топлина $\alpha(t - t_0)T$ в околната среда. От уравнението за топлинен баланс следва:

C\Delta t = P_0\tau - \alpha(t - t_0)\tau,

откъдето изразяваме времето, през което нагревателят е включен:

\tau = \frac{C\Delta t}{P_0 - \alpha(t - t_0)}. \qquad (2)

(1 т)

Нека първоначално температурата в стаята е била $t = t_1$ , при което $\tau = 2T$ . От уравнения (1) и (2) получаваме:

t_1 = t_0 + \frac{2P_0}{3\alpha}. \qquad (3)

(1 т)

Във втория случай, при $t = t_2$ , $2\tau = T$ и отчитайки отново (1) и (2):

t_2 = t_0 + \frac{P_0}{3\alpha}. \qquad (4)

(1 т)

Като вземем предвид, че $t_1 - t_2 = \Delta\theta$ , получаваме:

\frac{P_0}{\alpha} = 3\Delta\theta. \qquad (5)

От уравнение (3) намираме:

t_1 = t_0 + 2\Delta\theta = 16^{\circ}\mathrm{C}, \qquad (6)

(0.5 т)

а от уравнение (4):

t_2 = t_0 + \Delta\theta = 14^{\circ}\mathrm{C}. \qquad (7)

(0.5 т)

Б) Нагревателят ще работи непрекъснато, ако отделената от него топлинна мощност е равна или по-малка от мощността на топлинни загуби от стаята:

P_0 \le \alpha(t - t_0)

(0,5 т)

т.е., когато е зададена температура:

t \ge t_0 + \frac{P_0}{\alpha}.

(0,5 т)

Като вземем предвид уравнение (5), намираме:

t_{\mathrm{м}} = t_0 + 3\Delta\theta = 18^{\circ}\mathrm{C}.

(1 т)

В) От уравнения (1) и (2) в първата подточка следва, че времето между две последователни включвания на нагревателя е:

\tau + T = \frac{C\Delta t}{P_0 - \alpha(t - t_0)} + \frac{C\Delta t}{\alpha(t - t_0)} = \frac{P_0 C\Delta t}{\alpha(t - t_0)[P_0 - \alpha(t - t_0)]} \qquad ((2))

(1 т)

Честотата на включванията е максимална, когато изразът $y = \alpha(t - t_0)[P_0 - \alpha(t - t_0)]$ в знаменателя е най-голям (1 т). За удобство означаваме $x = t - t_0$ . Графиката на функцията $y = \alpha P_0 x - \alpha^2 x^2$ e парабола с връх, обърнат нагоре. Върхът на параболата съответства на стойност на променливата $x_{\max} = P_0/(2\alpha) = 3\Delta\theta/2$ . Това означава, че:

t_4 = t_0 + \frac{3}{2}\Delta\theta = 15^{\circ}\mathrm{C}.

(1 т)

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Топлинни явления · Топлообмен · Калориметрия

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF3_2025_10problems.pdf · официални решения: NOF3_2025_10solutions.pdf