НОФ 2025, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Трептяща система

• в) $X_C(t)=A\sin(\omega_1 t+\varphi_1),\ \omega_1=\sqrt{k/m};\quad x(t)=B\sin(\omega_2 t+\varphi_2),\ \omega_2=\sqrt{(k+2k_1)/m}$

  При честота ω₁ частиците трептят във фаза (x₁ = x₂), при честота ω₂ – в противофаза (x₁ = −x₂).

• г) $x_1(t)=\frac{a}{2}(\cos\omega_1 t+\cos\omega_2 t),\quad x_2(t)=\frac{a}{2}(\cos\omega_1 t-\cos\omega_2 t)$

• д) $x_1(t)=a\cos\varepsilon t\cos\omega t,\quad x_2(t)=a\sin\varepsilon t\sin\omega t,\quad \varepsilon=\frac{k_1}{2k}\omega_1,\ \omega=\left(1+\frac{k_1}{2k}\right)\omega_1$

  Биене: енергията се прехвърля периодично между двете частици.

а) Пълната енергия е $E = E_{\text{к}} + E_{\text{п}}$, където кинетичната енергия $E_{\text{к}}$ е

$E_{\text{к}} = \dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{mv_2^2}{2}$, [0,25 т.]

а потенциалната енергия $E_{\text{п}}$, свързана с деформацията на пружините, се дава с израза

$E_{\text{п}} = \dfrac{k}{2}x_1^2 + \dfrac{k}{2}x_2^2 + \dfrac{k_1}{2}(x_1 - x_2)^2$. [0,5 т.]

б) По определение отклонението

$X_{\mathrm{C}} = \dfrac{mx_1 + mx_2}{2m} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$, [0,25 т.]

а скоростта на центъра на масите е

$V_{\mathrm{C}} = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$. [0,25 т.]

Относителното отместване и относителната скорост съответно са

$x = x_1 - x_2$, [0,25 т.] $v = v_1 - v_2$. [0,25 т.]

Тогава отклоненията на частиците и техните скорости се дават с изразите

(1) $x_1 = X_{\mathrm{C}} + \dfrac{1}{2}x$, [0,25 т.] $v_1 = V_{\mathrm{C}} + \dfrac{1}{2}v$, [0,25 т.]

(2) $x_2 = X_{\mathrm{C}} - \dfrac{1}{2}x$, [0,25 т.] $v_2 = V_{\mathrm{C}} - \dfrac{1}{2}v$. [0,25 т.]

Като заместим тези равенства в израза за енергията, намираме

$E = E_1 + E_2$, [0,25 т.]

където

$E_1 = \dfrac{1}{2}(2m)V_{\mathrm{C}}^2 + \dfrac{1}{2}(2k)X_{\mathrm{C}}^2$, [0,5 т.]

$E_2 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{m}{2}\right)v^2 + \dfrac{1}{2}(k_1 + k/2)x^2$. [0,5 т.]

в) Енергията на трептящата система е сума от енергиите на две независими хармонични трептения. Първото е трептене на „частица“ с маса $2m$, разположена в центъра на масите, под действие на еластична сила с коефициент на еластичност $2k$. [0,25 т.] Кръговата честота на това хармонично трептене е

$\omega_1 = \sqrt{\dfrac{2k}{2m}} = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$. [0,25 т.]

Ще приемем, че $X_C(t) = A\sin(\omega_1 t + \varphi_1)$ [0,25 т.]. Тогава след диференциране по времето имаме $V_C(t) = \omega_1 A\cos(\omega_1 t + \varphi_1)$ [0,25 т.]. (Този резултат може също да се получи, като се използва изразът за енергията

$E_1 = kA^2 = mV^2 + kA^2\sin^2(\omega_1 t + \varphi_1)$,

откъдето следва резултатът за $V_C(t) = \omega_1 A\cos(\omega_1 t + \varphi_1)$).

Второто хармонично трептене е трептене на „частица“ с маса $m/2$ под действие на еластична сила с коефициент на еластичност $k_1 + k/2$ [0,25 т.]. Кръговата честота на това хармонично трептене е

$\omega_2 = \sqrt{\dfrac{k_1 + k/2}{m/2}} = \sqrt{\dfrac{k + 2k_1}{m}}$. [0,25 т.]

Аналогично можем да запишем

$x(t) = B\sin(\omega_2 t + \varphi_2)$, [0,25 т.] $v(t) = \omega_2 B\cos(\omega_2 t + \varphi_2)$ .[0,25 т.]

Когато частиците трептят с една и съща честота $\omega_1$, имаме

$X(t) \neq 0$, [0,25 т.] $x = 0$. [0,25 т.]

Следователно $x_1(t) = x_2(t)$ [0,25 т.], т.е. двете частици трептят във фаза, при което пружината с коефициент на еластичност $k_1$ остава недеформирана [0,25 т.]. Когато частиците трептят с една и съща честота $\omega_2$, имаме

$X(t) = 0$, [0,25 т.] $x \neq 0$. [0,25 т.]

Следователно $x_1(t) = -x_2(t)$ [0,25 т.], т.е. двете частици трептят в противофаза. В този случай средната пружина се деформира, а центърът на масата е неподвижен [0,25 т.].

г) Като отчетем изразите (1) и (2), намираме

$x_1(t) = A\sin(\omega_1 t + \varphi_1) + \dfrac{1}{2}B\sin(\omega_2 t + \varphi_2)$, [0,25 т.]

$x_2(t) = A\sin(\omega_1 t + \varphi_1) - \dfrac{1}{2}B\sin(\omega_2 t + \varphi_2)$, [0,25 т.]

$v_1(t) = \omega_1 A\cos(\omega_1 t + \varphi_1) + \dfrac{1}{2}\omega_2 B\cos(\omega_2 t + \varphi_2)$, [0,25 т.]

$v_2(t) = \omega_1 A\cos(\omega_1 t + \varphi_1) - \dfrac{1}{2}\omega_2 B\cos(\omega_2 t + \varphi_2)$. [0,25 т.]

Удовлетворяването на началните условия дава системата уравнения

$a = A\sin\varphi_1 + \dfrac{1}{2}B\sin\varphi_2$, [0,25 т.]

$0 = A\sin\varphi_1 - \dfrac{1}{2}B\sin\varphi_2$, [0,25 т.]

откъдето намираме $A\sin\varphi_1 = a/2$ [0,25 т.]. $B\sin\varphi_2 = a$ [0,25 т.]. От началните условия за скоростите следва

$0 = \omega_1 A\cos\varphi_1 + \dfrac{1}{2}\omega_2 B\cos\varphi_2$, [0,25 т.]

$0 = \omega_1 A\cos\varphi_1 - \dfrac{1}{2}\omega_2 B\cos\varphi_2$, [0,25 т.]

от които получаваме

$A\cos\varphi_1 = 0 \rightarrow \varphi_1 = \pi/2$, [0,25 т.] $B\cos\varphi_2 = 0 \rightarrow \varphi_2 = \pi/2$. [0,25 т.]

Окончателно намираме следните закони за отместванията на частиците

$x_1(t) = \dfrac{a}{2}\left(\cos\omega_1 t + \cos\omega_2 t\right)$, [0,5 т.]

$x_2(t) = \dfrac{a}{2}\left(\cos\omega_1 t - \cos\omega_2 t\right)$. [0,5 т.]

д) Получените отклонения на частиците могат да се преобразуват с формулите за сума и разлика на два косинуса. Тогава намираме

$x_1(t) = \dfrac{a}{2}\left(\cos\omega_1 t + \cos\omega_2 t\right) = a\cos\left[\dfrac{1}{2}(\omega_2 - \omega_1)t\right]\cos\left[\dfrac{1}{2}(\omega_2 + \omega_1)t\right]$, [0,25 т.]

$x_2(t) = \dfrac{a}{2}\left(\cos\omega_1 t - \cos\omega_2 t\right) = a\sin\left[\dfrac{1}{2}(\omega_2 - \omega_1)t\right]\sin\left[\dfrac{1}{2}(\omega_2 + \omega_1)t\right]$. [0,25 т.]

Като отчетем условието $k_1 \ll k$, намираме следните приближени изрази

$\dfrac{1}{2}(\omega_2 - \omega_1) = \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{k + 2k_1}{m}} - \sqrt{\dfrac{k}{m}}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\left(\sqrt{1 + 2\dfrac{k_1}{k}} - 1\right) \approx \dfrac{k_1}{2k}\omega_1 = \varepsilon$, [0,25 т.]

$\dfrac{1}{2}(\omega_2 + \omega_1) = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\left(\sqrt{1 + 2\dfrac{k_1}{k}} + 1\right) \approx \left(1 + \dfrac{k_1}{2k}\right)\omega_1 = \omega$. [0,25 т.]

Следователно окончателно имаме

$x_1(t) = a\cos\varepsilon t\cos\omega t$, [0,5 т.]

$x_2(t) = a\sin\varepsilon t\sin\omega t$. [0,5 т.]

Последните равенства показват, че в този случай всяка от частиците трепти с честота $\omega$ [0,25 т.], но с променлива амплитуда [0,25 т.]. В интервала $0 \le t \le \pi/2\varepsilon$ амплитудата на първата частица намалява от максималната стойност $a$ до нула [0,25 т.], докато амплитудата на втората частица се увеличава от нула до $a$ [0,25 т.]. След това амплитудата на първата частица нараства с времето, а на втората намалява и т.н. (Явлението, при което става прехвърляне на енергия от първата към втората частица и обратно се нарича биене в трептящата система).