НОФ 2025, III кръг (национален), 7. клас — Задача 1. Военна колона

• а) $u = \frac{v_1t_1 + v_2t_2}{t_1 + t_2}$
• б) $d = \frac{(v_2 - v_1)t_1t_2}{t_1 + t_2}$
• в) $t_0 = \frac{(v_2 - v_1)t_1t_2}{v_1t_1 + v_2t_2}$
• г) u = 25,0 m/s = 90,0 km/h; d = 50,0 m; t0 = 2,00 s
• д) 0.769 s
• е) 14

а) Когато охраняващият колоната полицейски автомобил се движи в дясната лента по-бавно от колоната със скорост $v_1$, то $v_1t_1 + d = ut_1$. [0.5 т.] (1) Когато полицейският автомобил се движи в лявата лента по-бързо от колоната със скорост $v_2$, то $v_2t_2 - d = ut_2$. [0.5 т.] (2) Ако съберем двете уравнения, $v_1t_1 + v_2t_2 = u(t_1 + t_2)$, [0.5 т.] откъдето $u = \frac{v_1t_1 + v_2t_2}{t_1 + t_2}$. [0.5 т.] (3)

б) Замествайки (3) в (1) (или в (2)), [0.5 т.] $d = \frac{(v_2 - v_1)t_1.t_2}{t_1 + t_2}$ . [1.5 т.] (4)

в) Ако полицейският автомобил е спрял в дясната лента, то интервалът от време $t_0$, през който камионите ще минават покрай него, е $t_0 = \frac{d}{u}$. [0.5 т.] (5) Замествайки в (5) с получените формули (3) и (4), $t_0 = \frac{(v_2 - v_1)t_1.t_2}{v_1t_1 + v_2t_2}$. [1 т.] (6)

г) Използвайки уравнения (3), (4) и (5) и дадените стойности на $v_1, v_2, t_1$ и $t_2$, скоростта на колоната е $u = \frac{15\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.5{,}00\mathrm{s} + 45\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.2{,}50\mathrm{s}}{5{,}00\mathrm{s} + 2{,}50\mathrm{s}} =$ [0.4 т.] 25,0 m/s = 90,0 km/h. [0.4 т.] Разстоянието между два последователни камиона е $d = \frac{\left(45\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} - 15\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)5{,}00\mathrm{s}.2{,}50\mathrm{s}}{5{,}00\mathrm{s} + 2{,}50\mathrm{s}} =$ [0.4 т.] 50,0 m. [0.4 т.] Интервалът от време е $t_0 = \frac{50\ \mathrm{m}}{25\ \mathrm{m/s}} = 2{,}00\ \mathrm{s}$. [0.4 т.]

д) Тъй като $v_3t_3 + ut_3 = d$, [0.5 т.] то интервалът от време $t_3$, за което полицейският автомобил минава покрай два последователни камиона, движейки се в обратна посока, е $t_3 = \frac{d}{v_3 + u} =$ [0.2 т.] $\frac{50{,}0\ \mathrm{m}}{40\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 25\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} =$ [0.3 т.] $\frac{10}{13}\ \mathrm{s} \approx 0{,}769\ \mathrm{s}$. [0.5 т.]

е) Колона от $N$ камиона е дълга $(N - 1)d$. Полицейският автомобил ще се размине с нея за време $t_4 = (N - 1)t_3$, [0.3 т.] следователно $N = \frac{t_4}{t_3} + 1$. [0.2 т.] След заместване $N = \frac{10\ \mathrm{s}}{\frac{10}{13}\mathrm{s}} + 1 = 14$. [0.5 т.]