НОФ 2025, III кръг (национален), 8. клас — Задача 1. Вертикално движение (задачата се състои от две независими части)

Част I

Нека да означим с $t_0$ времето, за което първата топка изминава разстоянието $d$. Оттук $d = \frac{gt_0^2}{2}$. [0,5 т.] Втората топка пада $h = \frac{gt^2}{2}$ за време $t$. [0,5 т.] Пълното движение на първата топка е $9h = \frac{g(t_0+t)^2}{2}$. [0,5 т.] Следователно $t_0+t = 3\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2d}{g}} + \sqrt{\frac{2h}{g}}$ и $d = 4h$. [1 т.]

Част II

а) Първоначално, като приложим II принцип на Нютон, ще получим: $m_{\mathrm{д}}g-T_{\mathrm{д}}=m_{\mathrm{д}}a_{\mathrm{с}}$ [0,5 т.] (за дясната теглилка), $T_{\mathrm{д}}-T_{\mathrm{л}}-m_{\mathrm{с}}g=m_{\mathrm{с}}a_{\mathrm{с}}$ [0,5 т.] (за средната теглилка) и $2T_{\mathrm{л}}-m_{\mathrm{л}}g=m_{\mathrm{л}}a_{\mathrm{с}}/2$ [1 т.] (за лявата теглилка). От горните уравнения следва, че $a_{\mathrm{с}}=\frac{2(2m_{\mathrm{д}}-2m_{\mathrm{с}}-m_{\mathrm{л}})}{4m_{\mathrm{д}}+4m_{\mathrm{с}}+m_{\mathrm{л}}}g$. [0,5 т.] Уравненията на Нютон след размяната на крайните теглилки може да се получат от горните, като заменим $a_{\mathrm{с}}$ с $-a_{\mathrm{с}}$ и разменим местата на $m_{\mathrm{д}}$ и $m_{\mathrm{л}}$. Оттук $a_{\mathrm{с}}=\frac{2(m_{\mathrm{д}}+2m_{\mathrm{с}}-2m_{\mathrm{л}})}{m_{\mathrm{д}}+4m_{\mathrm{с}}+4m_{\mathrm{л}}}g$. [0,5 т.] За масите се получават следните две уравнения: $(2g+a_{\mathrm{с}})m_{\mathrm{л}}-4(g-a_{\mathrm{с}})m_{\mathrm{д}}=-4(g+a_{\mathrm{с}})m_{\mathrm{с}}$ и $4(g+a_{\mathrm{с}})m_{\mathrm{л}}-(2g-a_{\mathrm{с}})m_{\mathrm{д}}=4(g-a_{\mathrm{с}})m_{\mathrm{с}}$. [0,5 т.] Решението е $m_{\mathrm{л}}=\frac{4(6g^2-7ga_{\mathrm{с}}+3a_{\mathrm{с}}^2)}{3(4g^2-5a_{\mathrm{с}}^2)}m_{\mathrm{с}}\approx0{,}5\ \mathrm{kg}$ и $m_{\mathrm{д}}=\frac{4(6g^2+7ga_{\mathrm{с}}+3a_{\mathrm{с}}^2)}{3(4g^2-5a_{\mathrm{с}}^2)}m_{\mathrm{с}}\approx0{,}8\ \mathrm{kg}$. [2 т.]

б) От решението на предишното подусловие се вижда, че $T_{\mathrm{л}}=\frac{m_{\mathrm{л}}(2g+a_{\mathrm{с}})}{4}\approx2{,}7\ \mathrm{N}$. [0,5 т.] Силата на опън на дясната нишка е $T_{\mathrm{д}}=m_{\mathrm{д}}(g-a_{\mathrm{с}})\approx6{,}3\ \mathrm{N}$. [0,5 т.]

в) За да получим новите сили на опън след размяната на крайните теглилки, заменяме $a_{\mathrm{с}}$ с $-a_{\mathrm{с}}$ и разменяме местата на $m_{\mathrm{д}}$ и $m_{\mathrm{л}}$ в горните изрази: $T_{\mathrm{л}}^{\prime}=\frac{m_{\mathrm{д}}(2g-a_{\mathrm{с}})}{4}\approx3{,}6\ \mathrm{N}$ и $T_{\mathrm{д}}^{\prime}=m_{\mathrm{л}}(g+a_{\mathrm{с}})\approx6{,}0\ \mathrm{N}$. [1 т.]