НОФ 2025, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Трупчета на нишка

• а) $a=kg/3\approx0{,}3\ \mathrm{m/s^2},\quad a^{\prime}=kg\approx1\ \mathrm{m/s^2}$
• б) $v_{\mathrm{сп}}\approx3{,}9\ \mathrm{m/s},\quad d_{\mathrm{сп}}=4{,}5\ \mathrm{m}$

а) Нека да означим първоначалната сила на опън на нишката с $T$, а силата на опън след като дясното трупче достига гладкия участък – с $T^{\prime}$. От II принцип на Нютон имаме следните две уравнения за трупчетата върху грапавия участък: $T-kmg=ma$ [0,5 т.] (за лявото трупче) и $F-T-kMg=Ma$ [0,5 т.] (за дясното трупче). След като дясното трупче достигне гладкия участък, уравненията за двете трупчета стават: $T^{\prime}-kmg=ma^{\prime}$ [0,5 т.] (за лявото трупче) и $F-T^{\prime}=Ma^{\prime}$ [0,5 т.] (за дясното трупче). От условието на задачата следва, че $T^{\prime}=m(kg+a^{\prime})=\frac{3T}{2}=\frac{3m(kg+a)}{2}$, т.е. $2a^{\prime}=3a+kg$. [0,5 т.] Като съберем двете уравнения на Нютон преди достигането до гладкия участък, ще получим, че $a=\frac{F-kg(m+M)}{m+M}$. [0,5 т.] Аналогично $a^{\prime}=\frac{F-kmg}{m+M}$. [0,5 т.] Оттук и от получената връзка между двете ускорения следва, че $F=2kMg$. [0,5 т.] Като заместим по-горе, получаваме за ускоренията: $a=\frac{kg(M-m)}{m+M}=\frac{kg}{3}\approx0{,}3\ \mathrm{m/s^2}$ и $a^{\prime}=\frac{kg(2M-m)}{m+M}=kg\approx1\ \mathrm{m/s^2}$. [1 т.]

б) Скоростта на системата преди достигане до гладкия участък е $v=\sqrt{2as}=\sqrt{\frac{kg\ell}{3}}$. [0,5 т.] След това (но преди скъсването на нишката) системата развива скорост $v^{\prime}=\sqrt{v^2+2a^{\prime}s^{\prime}}=\sqrt{\frac{5kg\ell}{6}}$. [0,5 т.] След скъсването на нишката лявото трупче се движи равнозакъснително с ускорение $kg$, докато дясното се движи равноускорително с ново ускорение $\frac{F}{M}=2kg$. [0,5 т.] Времето за спиране на лявото трупче е $t_{\mathrm{сп}}=\frac{v^{\prime}}{kg}=\sqrt{\frac{5\ell}{6kg}}$. [0,5 т.] За това време дясното трупче придобива скорост $v_{\mathrm{сп}}=v^{\prime}+2kgt_{\mathrm{сп}}=3v^{\prime}=\sqrt{\frac{15kg\ell}{2}}\approx3{,}9\ \mathrm{m/s}$. [1 т.] За да намерим разстоянието между трупчетата в момента на спиране на лявото трупче, трябва да определим изминатите от тях пътища от скъсването на нишката до този момент. Лявото трупче изминава път $\frac{v^{\prime 2}}{2kg}=\frac{5\ell}{12}$, а дясното изминава $v^{\prime}t_{\mathrm{сп}}+kgt_{\mathrm{сп}}^2=\frac{5\ell}{3}$. [1 т.] Търсеното разстояние е $d_{\mathrm{сп}}=\ell+\frac{5\ell}{3}-\frac{5\ell}{12}=\frac{9\ell}{4}=4{,}5\ \mathrm{m}$. [1 т.]