Съдържание

НОФ 2025, III кръг (национален), 9. клас — Задача 1. Еквивалентно съпротивление

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА, НАЦИОНАЛЕН КРЪГ 25 – 27 април 2025 г., Казанлък Тема за 9. клас (трета състезателна група) · 25 април 2025 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 1 е показана част от електрическа верига, в която между точките $A$ и $B$ са свързани резистори, номерирани от 0 до 4, с посочени на схемата съпротивления. Свързването им не може да бъде определено като последователно, успоредно или смесено. Еквивалентното съпротивление на веригата може да се пресметне по следния начин. Предполагаме, че между точките $A$ и $B$ е подадено напрежение, при което във външната част на веригата протича определен ток. Токовете през отделните резистори трябва да се изразят чрез общия ток и като се използва законът на Ом да се намери търсеното еквивалентно съпротивление.

Мостова схема между точки A и B с пет резистора: резистор 1 (r) горе-ляво, резистор 2 (2r) горе-дясно, резистор 3 (2r) долу-ляво, резистор 4 (r) долу-дясно, и резистор 0 (r) вертикално в средата, свързващ горния и долния възел. — Фиг. 1

Отговори

Решение

Напрежението $U$ , приложено между точките $A$ и $B$ , може да се изрази чрез токовете и съпротивленията на резисторите 1 и 2 чрез формулата

U = I_1 r + I_2 (2r).

[1 т.]

Мостовата схема между точки A и B (резистори r и 2r горе, 2r и r долу, r в средата) със стрелки за посоката на тока: надясно през четирите външни резистора и надолу през средния резистор r.

Това напрежение поражда ток $I$ , който е равен на

I = I_1 + I_3. \qquad (1)

[1 т.]

Следователно търсеното съпротивление се дава с израза

R = \frac{U}{I} = \frac{I_1 + 2I_2}{I_1 + I_3} r.

[0,5 т.]

За възела $C$ от закона за запазване на електричния заряд имаме

I_1 = I_2 + I_0, \qquad (2)

[0,5 т.]

а във възела $D$ е в сила равенството

I_3 + I_0 = I_4. \qquad (3)

[0,5 т.]

Освен това напрежението между точките $A$ и $C$ , изразено по два начина, дава равенството

I_1 r = I_3(2r) - I_0 r \;\rightarrow\; I_1 = 2I_3 - I_0. \qquad (4)

[0,5 т.]

а напрежението между $C$ и $B$ води до

I_2(2r) = I_0 r + I_4 r \;\rightarrow\; 2I_2 = I_0 + I_4. \qquad (5)

[0,5 т.]

От почленното събиране на (2) и (4) намираме

I_2 = 2(I_1 - I_3),

[1 т.]

докато от (3) и (5), като изключим $I_4$ , получаваме

2I_0 = 4I_1 - 5I_3.

[1 т.]

След заместване в (4) следва връзка между $I_1$ и $I_3$ , т.е.

3I_3 = 2I_1.

[1 т.]

Като използваме (1), намираме

$I_1 = \dfrac{3}{5}I$ , [0,5 т.] $\qquad I_3 = \dfrac{2}{5}I$ , [0,5 т.] $\qquad I_2 = \dfrac{2}{5}I$ . [0,5 т.]

Окончателно окончателно получаваме

R = \frac{7}{5}r.

[1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2025_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2025_9solutions.pdf