НОФ 2026, IV кръг, петточково контролно — Задача 1. „Стационарна“ орбита

„Петточково“ контролно – механика, 26.06.2026 г.

Условие

Тяло с малки размери може да се хлъзга без триене по вътрешната повърхност на неподвижна сфера с радиус $R$. Положението на тялото се описва с помощта на ъгъла $\theta$ между неговия радиус-вектор и вертикалната права, минаваща през центъра, като $\theta = 0$ съответства на най-ниската точка от сферата. Приемете земното ускорение $g$ за известен параметър.

А) Тялото е поставено в точка с ъгъл на отклонение $\theta_0$ спрямо вертикалата, както е показано на фигурата ($\theta_0 < \pi/2$). Каква начална хоризонтална скорост $v_0$ трябва да бъде придадена на тялото така, че то да продължи да се движи по хоризонтална окръжност, т.е. по „паралела“ през началната точка? [1,5 т.]

Б) Да предположим, че в началния момент, освен определената в точка А хоризонталната скорост $\vec{v}_0$, на тялото е придадена и малка допълнителна скорост $\vec{v}_1$ ($v_1 \ll v_0$) в направление на „меридиана“, върху който то е поставено. При какъв начален ъгъл $\theta_0$, след една обиколка тялото ще се върне в началната точка със същата скорост, както в началния момент? [3,5 т.]

Решение

---

Оригинал в Архива: k5_zad.pdf