O3A2 2020, Тест, 10–11 клас — Задача 1. Далеко до той планеты?

• 1.1 $\alpha = 6^{h};\quad \delta = +\varepsilon \approx +23.5^{\circ}$
• 1.2 $\varphi = \delta \pm (90^{\circ}-h)$
• 1.3 $r = \sqrt{a_{\text{пл}}^2 - a_{\oplus}^2}$
• 1.4 $\gamma = \arcsin\dfrac{a_{\oplus}}{a_{\text{пл}}}$
• 1.5 $\tau = \frac{270^{\circ}+\arcsin\frac{a_{\oplus}}{a_{\text{пл}}}}{360^{\circ}} \cdot \frac{T_{\text{пл}} T_{\oplus}}{T_{\text{пл}}-T_{\oplus}}$

1.1 Пренебрежём видимым смещением планеты за половину суток. Верхняя кульминация планеты наблюдалась около 18 часов по местному времени, с хорошей точностью через 6 часов после полудня. Следовательно, планета находится [практически] в точке летнего солнцестояния:

[1.5 + 1.5 = 3 балла]

1.2 По известным высоте верхней кульминации и склонению рассчитываем широту $\varphi$:

В ответе необходимо указать физически осмысленный результат с учётом нахождения планеты над горизонтом в течение более половины суток. [2 балла]

1.3 Угол Солнце – Земля – планета прямой: $r = \sqrt{a_{\text{пл}}^2 - a_{\oplus}^2}$. [0.5×3 = 1.5 балла]

1.4 Угол Солнце – Земля – планета прямой: $\gamma = \arcsin\dfrac{a_{\oplus}}{a_{\text{пл}}}$. [1 балл]

1.5 При наблюдении с Солнца угол между Землёй и планетой составляет $90^{\circ}-\gamma$, поэтому Земля обгоняет планету на $360^{\circ}-(90^{\circ}-\gamma)=270^{\circ}+\gamma$. Искомый промежуток времени

[2.5 балла]