Съдържание

O3A2 2020, Тест, 10–11 клас — Задача 6. 5. Пыльное небо (10–11)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от O3A2 2020

Открытая онлайн-олимпиада по астрономии и астрофизике '20 — Тестовый тур · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

В условии задачи 7.1 («Триангулятор») упоминается таблица с экваториальными координатами трёх звёзд, но в исходном документе эта таблица не напечатана.

Условие

5.1 Зарегистрированная звёздная величина некоторой звезды на высоте $h_1$ составила $m_1$ . После того, как высота звезды уменьшилась до $h_2$ , её звёздная величина увеличилась до $m_2$ . Определите внеатмосферную звёздную величину этой звезды в модели оптически однородной атмосферы. [2 т.]

5.2 На высоте $h_3$ звёздная величина того же светила составила $m_3$ . В модели тонкой сферической оптически однородной атмосферы оцените толщину $H$ последней. [3 т.]

5.3 Какова оптическая толщина атмосферы в заданной модели при наблюдениях вблизи горизонта? [2 т.]

5.4 Оцените коэффициент $\sigma$ поглощения атмосферы в расчёте на одну молекулу. [3 т.]

Отговори

Решение

5.1 Зенитные расстояния достаточно малы, чтобы считать атмосферу плоской. Используем «закон секансов» ( $A$ — поглощение в зените):

m_i = m_0 + \frac{A}{\sin h_i} \implies m_0 = \frac{m_1\sin h_1 - m_2\sin h_2}{\sin h_1 - \sin h_2}.

[2 балла]

5.2 Величина поглощения в зените $A = (m_i - m_0)\sin h_i$ — на высоту атмосферы. На высоте $h_3$ луч зрения пронизывает толщу атмосферы длиной $l$ , для которой по теореме косинусов справедливо:

(R_{\oplus}+H)^2 = R_{\oplus}^2 + l^2 - 2R_{\oplus}l\cos(90^{\circ}+h_3).

С другой стороны, из величины поглощения на этой высоте $l = H\cdot(m_3-m_0)/A$ . Подстановка приводит к уравнению относительно $H$ :

2R_{\oplus} + H = H\left(\frac{m_3-m_0}{A}\right)^2 + 2R_{\oplus}\frac{m_3-m_0}{A}\sin h_3 \implies H = 2R_{\oplus}\frac{1-\frac{m_3-m_0}{A}\sin h_3}{\left(\frac{m_3-m_0}{A}\right)^2-1}.

[3 балла]

5.3 Оптическая толщина $\tau$ соответствует ослаблению в $e^{\tau}$ раз. Вблизи горизонта имеем путь луча в атмосфере $l_{\text{гор}} = \sqrt{(R_{\oplus}+H)^2-R_{\oplus}^2}$ , что соответствует величине поглощения $\Delta m_{\text{гор}} = Al_{\text{гор}}/H$ . Следовательно,

\tau_{\text{гор}} = \ln\left(10^{0.4\Delta m_{\text{гор}}}\right) = 0.4\ln 10\cdot A\frac{\sqrt{(R_{\oplus}+H)^2-R_{\oplus}^2}}{H}.

[2 балла]

5.4 Оптическая толщина $\tau = n\sigma l$ , откуда $\sigma = \tau_{\text{гор}}/(nl_{\text{гор}})$ . Концентрацию оценим как

n = \frac{N}{4\pi R_{\oplus}^2 H} = \frac{p_0\cdot 4\pi R_{\oplus}^2}{4\pi R_{\oplus}^2 H}\cdot\frac{1}{m_0 g} = \frac{p_0 N_A}{\mu g H} \implies \sigma = 0.4\ln 10\cdot\frac{\mu g A}{p_0 N_A}.

[3 балла]

Оригинал в Архива: test-round.pdf