Съдържание

O3A2 2020, Теория — Задача 3. Три планеты

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от O3A2 2020

Открытая онлайн-олимпиада по астрономии и астрофизике '20 — Теоретический тур

Условие

24 марта 2020 года произошло сразу два знаменательных астрономических события: наибольшая западная элонгация Меркурия и наибольшая восточная элонгация Венеры. Оцените, через какое минимальное время эта ситуация повторится, то есть максимальные элонгации Меркурия и Венеры будут наблюдаться с интервалом не более 3 суток. Орбиты планет считайте круговыми и лежащими в плоскости эклиптики.

Отговори

Решение

Перейдём в систему отсчёта, вращающуюся вокруг Солнца вместе с Землёй. В этой системе между наибольшими восточной и западной элонгациями Меркурий проходит по орбите

\beta_1 = 2\arccos\frac{a_1}{a_{\oplus}} = 2\arccos 0.3871 = 2.347\ \text{рад};

Венера —

\beta_2 = 2\arccos\frac{a_2}{a_{\oplus}} = 2\arccos 0.7233 = 1.524\ \text{рад}.

Синодические угловые скорости Меркурия и Венеры составляют соответственно

\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} - \frac{2\pi}{T_{\oplus}} = \frac{2\pi}{87.97\ \text{сут.}} - \frac{2\pi}{365.26\ \text{сут.}} = 0.05422\ \text{рад/сут.};

\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} - \frac{2\pi}{T_{\oplus}} = \frac{2\pi}{224.70\ \text{сут.}} - \frac{2\pi}{365.26\ \text{сут.}} = 0.01076\ \text{рад/сут.}

Ситуация повторится, когда Меркурий и Венера вновь одновременно будут в наибольших элонгациях (по условию — любых). Возможны 4 варианта:

\omega_1 t = 2\pi n_1,\quad \omega_2 t = 2\pi n_2;\qquad n_1=126,\ n_2=25;\qquad t=14600\ \text{сут.}

\omega_1 t + \beta_1 = 2\pi n_1,\quad \omega_2 t = 2\pi n_2;\qquad n_1=81,\ n_2=16;\qquad t=9343\ \text{сут.}

\omega_1 t = 2\pi n_1,\quad \omega_2 t - \beta_2 = 2\pi n_2;\qquad n_1=102,\ n_2=20;\qquad t=11820\ \text{сут.}

\omega_1 t + \beta_1 = 2\pi n_1,\quad \omega_2 t - \beta_2 = 2\pi n_2;\qquad n_1=52,\ n_2=10;\qquad t=5982\ \text{сут.}

Наименьший промежуток времени соответствует, как видно, наступлению противоположных максимальных элонгаций. Это случится через $\boxed{16.4\ \text{года.}}$

Схема оценивания:

метод расчёта → 3 балла;
рассмотрение всех случаев → 1/3/5/6 баллов;
правильный ответ → 1 балл.

Оригинал в Архива: theory.pdf · официални решения: theory-sol.pdf