Съдържание

НПСФ 2001, Специална тема — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2001

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА — НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА, 23.03.2001 – 25.03.2001 гр.Пловдив — СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 23 март 2001 г. · 40 т.

Внимание: Бележка към темата

Скан с ниско качество (пишеща машина, 2001 г.); някои формули и цифри са трудни за четене.

Указание

Темата съдържа четири задачи. Участниците решават ТРИ задачи ПО ИЗБОР.

Условие

Зад 1. I. Ламарина с форма на ротационна повърхнина $\Phi$ с вертикална ос /т.е. повърхнина, получена от въртенето на дадена крива около неподвижна вертикална ос/ е запоена за блюдото Б на една везна, така че да се образува съд. В него се налива течност с плътност $\rho=1{,}2\cdot10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}$ . Блюдото винаги е уравновесено и хоризонтално. Течността да се счита идеална.

Ротационна повърхнина Ф, запоена за блюдо Б върху везна; координатна система с начало O, хоризонтална ос Ox и вертикална ос Oy; точка A с координати x, y; тръба C на височина H.

А/ На дъното на съда се отваря не голям отвор с площ $\sigma=7{,}9\cdot10^{-5}\ \mathrm{m^{2}}$ . Каква зависимост трябва да съществува между координатите $x$ и $y$ на произволна точка A от повърхнината $\Phi$ , че падането на нивото на течността в съда в следствие на изтичане на течността през отвора да става с постоянна скорост с големина $v_{0}=1{,}3\cdot10^{-3}\ \mathrm{m/s}$ . Пресечната точка O на оста на симетрия на повърхнината $\Phi$ и Б е избрана за начало на координатна система, абсцисната ѝ ос Ox е хоризонтална, а ординатната ѝ ос Oy е вертикална. /виж Фигурата/.

Б/ С каква скорост изтича течността от отвора, когато височината на течността в съда е $y=0{,}3\ \mathrm{m}$ .

В/ След като отворът се затвори върху дъното на съда се излива струя от същата течност от тръба C със сечение $S=10^{-4}\ \mathrm{m^{2}}$ , краят на която се намира на разстояние $H=1\ \mathrm{m}$ от блюдото. Големината на скоростта, с която изтича течността от края на тръбата C е $v_{1}=0{,}7\ \mathrm{m/s}$ . Как зависи от височината $y$ на нивото на течността в съда налягането ѝ върху дъното на съда? Какво е налягането върху дъното на съда при $y=0{,}3\ \mathrm{m}$ ?

II. Ще се промени ли силата, която уравновесява разглежданото блюдо на везната, когато отворът се отвори и течността в съда започне да изтича през отвора? С колко ще се промени големината на тази сила при отваряне на отвора в сравнение с уравновесяващата сила, когато отворът е затворен? И в двата случая височината на течността в съда е $y=0{,}4\ \mathrm{m}$ .

Отговори

Решение

Решение на задача 1:

А/ От уравнението на Бернули и уравнението за непрекъснатостта имаме: [6т.]

p_{0}+\frac{\rho v_{0}^{2}}{2}+\rho g y=p_{0}+\frac{\rho v^{2}}{2},\qquad v_{0}\pi x^{2}=v\sigma,\qquad\left(g=9{,}8\ \mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\right),

където $p_{0}$ е атмосферното налягане. Като решим тази система получаваме: [2т.]

y=\frac{v_{0}^{2}}{2g}\left(\frac{\pi^{2}x^{4}}{\sigma^{2}}-1\right).

Б/ [2т.]

v=\sqrt{\frac{2gy}{1-\dfrac{\sigma^{2}}{\pi^{2}x^{4}}}}=v_{0}\sqrt{1+\frac{2gy}{v_{0}^{2}}}\approx 2{,}4\ \mathrm{m/s}.

В/ Нека $y$ е височината на течността в съда в произволен момент. Скоростта на течността, изтичаща от тръба C в този момент до нивото на течността в съда е: [2т.]

v'=\sqrt{2g(H-y)}.

Количеството течност, което достига за време $\Delta t$ до нивото на течността в съда е: $\rho v_{1}S\Delta t$ [3т.] и импулсът му е: $\rho v_{1}S\Delta t\cdot v'$ . За единица време е предаден импулс: [1т.] $\rho v_{1}Sv'$ , който е равен на големината на действащата сила $F'$ . Резултатната сила, действаща на дъното е: [4т.]

F=\rho g y\,\pi x_{0}^{2}+\rho v_{1}S\sqrt{2g(H-y)},

където [3т.] $x_{0}=\sqrt{\dfrac{\sigma}{\pi}}$ е абсцисата на една точка от повърхността $\Phi$ с ордината $y=0$ . Следователно налягането е: [2т.]

P=\rho g y+\frac{\rho v_{1}S}{\sigma}\sqrt{2g(H-y)}\approx 7466{,}5\ \mathrm{Pa}.

II. Нека в даден момент височината на течността в съда е $y$ и отворът е отворен. Тогава, поради изтичането на течността, изменението на импулса на съда за единица време е: [6т.]

\frac{\Delta\vec p}{\Delta t}=-\rho\sigma v\,\vec v\equiv\vec F.

Силата $\vec F$ има посока на оста $Oy$ , а големината ѝ е: [5т.]

F=\rho\sigma v^{2}=\rho\sigma v_{0}^{2}\left(1+\frac{2gy}{v_{0}^{2}}\right)\equiv 0{,}74\ \mathrm{N}.

Следователно сила, която уравновесява блюдото при отворен отвор е [4т.] по-малка от силата, която го уравновесява при затворен отвор, при условие, че височината на течността в съда и в двата случая е една и съща.

Оригинал в Архива: proletni_2001_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2001_STsolutions.pdf