Съдържание

НПСФ 2001, Специална тема — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2001

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА — НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА, 23.03.2001 – 25.03.2001 гр.Пловдив — СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 23 март 2001 г. · 50 т.

Внимание: Бележка към темата

Скан с ниско качество (пишеща машина, 2001 г.); някои формули и цифри са трудни за четене.

Указание

Темата съдържа четири задачи. Участниците решават ТРИ задачи ПО ИЗБОР.

Условие

Зад 2. Успореден и хомогенен сноп електрони с кръгово сечение и радиус $R=2{,}10^{-3}\ \mathrm{m}$ е ускорен предварително от електрично поле с напрежение $U=300\ \mathrm{V}$ и се разпространява във вакуумиран съд /виж фигурата/. Дадени величини: Абсолютна стойност на заряда на електрона $e_{0}=1{,}6\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}$ , Електрична константа $\varepsilon_{0}=8{,}85\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ , Магнитна константа $\mu_{0}=1{,}257\cdot10^{-6}\ \mathrm{H/m}$ , Маса в покой на електрона $m_{0}=9{,}1\cdot10^{-31}\ \mathrm{kg}$ , Скорост на светлината във вакуум $c=3{,}10^{8}\ \mathrm{m/s}$ , Константа на Болцман $k=1{,}38\cdot10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ .

Схема на електронен сноп с кръгово сечение, движещ се по оста OO'; радиус-вектор r с единичен вектор r̂, радиус R на снопа.

А/ Да се определи силата, която действа на един електрон от снопа с радиус-вектор $\vec r$ , като началото O на координатната система е избрано върху оста $OO'$ на снопа. Да се има предвид, че /от съображения за симетрия/ интензитетът $\vec E$ на електричното поле на снопа в точката $\vec r$ е: $\vec E=-k\vec r$ , където $k$ е положителна константа, а $\vec r$ е вектор, перпендикулярен на оста на снопа. Известно е също, че големината на вектора $\vec E$ в точка от повърхнината на снопа се определя чрез формулата: $E=\dfrac{n_{0}e_{0}R}{2\varepsilon_{0}}$ , където $n_{0}=10^{10}\ \mathrm{m^{-3}}$ е концентрацията на електроните в снопа, $-e_{0}$ е зарядът на електрона, а $\varepsilon_{0}$ е електричната константа.

Б/ Какво обуславя действащата на електроните електрична сила и какво действащата им магнитна сила?

В/ Праволинеен проводник C с дължина $l=0{,}3\ \mathrm{m}$ , успореден на оста $OO'$ и намиращ се вън от снопа се движи спрямо него със скорост $\vec V$ , чиято големина е пропорционална на $r=|\vec r|$ : $V=\omega_{0}r$ , $\left(\omega_{0}=0{,}5\ \mathrm{s^{-1}}\right)$ . В каква посока трябва да се движи проводникът, че индуцираното в него ЕДН да е максимално. Да се определи това ЕДН.

Г/ Да си мислим, че в снопа се намират положителни йони всеки със заряд $2e_{0}$ и с маса $10^{4}$ пъти по-голяма от масата на електрона $m_{0}$ . Каква трябва да бъде концентрацията на тези йони, че снопът да не се разширява? Да се счита, че газът от йони е идеален с температура $T=273\ \mathrm{K}$ . Можем ли да пренебрежем средно-квадратичната скорост на йоните в сравнение със скоростта на електроните от снопа и да ги считаме неподвижни?

II. Да си мислим сега успореден и хомогенен сноп електрони с правъгълно сечение, чиято дебелина е $d=1\ \mathrm{mm}$ , а ширината му е много голяма. От съображения за симетрия е ясно, че интензитетът на електричното поле в една точка от повърхнината на снопа е перпендикулярен на снопа, а големината му е: $E=\dfrac{n_{0}e_{0}d}{2\varepsilon_{0}}$ . Да се оцени разстоянието, на което дебелината на снопа се увеличава с 30%. Останалите числени данни са същите като в част I на задачата.

Отговори

Решение

Решение на задача 2:

А/ От дадените две формули получаваме: [1т.]

k=\frac{n_{0}e_{0}}{2\varepsilon_{0}},\qquad \vec E=-\frac{n_{0}e_{0}}{2\varepsilon_{0}}\vec r.

Да си представим коаксиален цилиндър в снопа с радиус $r=|\vec r|$ . От формулата за интензитета на магнитното поле на праволинеен ток, за интензитета на магнитното поле $\vec H$ в точка $\vec r$ получаваме:

|\vec H|=\frac{J}{2\pi r}=\frac{\pi r^{2}v\,e_{0}n_{0}}{2\pi r},\qquad v=\sqrt{\frac{2e_{0}U}{m_{0}}},

Така че [3т.]

|\vec H|=r\,n_{0}\sqrt{\frac{e_{0}^{3}U}{2m_{0}}}.

/виж фигурата/, където: $\vec H$ е перпендикулярен вектор на равнината на листа, насочен към нас. Тогава силата, действаща на един електрон от снопа е: [5т.]

\vec F=-e_{0}\vec E-e_{0}\mu_{0}\,v\,|\vec H|\,\frac{\vec r}{r}=\frac{e_{0}^{2}n_{0}}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\vec r=\frac{e_{0}^{2}n_{0}}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{2e_{0}U}{m_{0}c^{2}}\right)\vec r\approx 1{,}44\cdot10^{-17}\,\vec r\ \mathrm{N}.

Б/ Електричната сила обуславя разширение, а магнитната сила свиване на снопа. [4т.]
В/ Магнитните индукционни линии са окръжности, перпендикулярни на оста $OO'$ . Вън от снопа: [5т.]

|\vec H|=\frac{J}{2\pi r}=\frac{\pi R^{2}v\,n_{0}e_{0}}{2\pi r}=\frac{R^{2}v\,n_{0}e_{0}}{2r}.

Индуцираното ЕДН е максимално, когато посоката на $\vec V$ е радиална. То е равно на работата на силата, с която магнитното поле действа на единичен положителен заряд при пренасянето му от единия край на проводника до другия: [5т.]

\mathcal{E}=\mu_{0}\,l\,H\,V=\mu_{0}\,l\,\omega_{0}\,R^{2}n_{0}\sqrt{\frac{e_{0}^{3}U}{2m_{0}}}\approx 6{,}20\cdot10^{-15}\ \mathrm{V}.

Г/ Отношението на средно-квадратичната скорост на йоните към $\left(v_{\text{ср.кв}}=\sqrt{\frac{3kT}{10^{4}m_{0}}}\right)$ скоростта на електроните е $1{,}085\cdot10^{-4}$ . Следователно можем да считаме йоните неподвижни. [4т.] Интензитетът на електричното поле на снопа не зависи от скоростта на частиците в него, така че силата, с която действат положителните йони на един електрон е: [5т.]

\vec F_{+}=-e_{0}\vec E_{+}=-e_{0}\frac{2e_{0}n_{1}}{2\varepsilon_{0}}\vec r=-\frac{n_{1}e_{0}^{2}}{\varepsilon_{0}}\vec r.

Снопът няма да се разширява, ако: [2т.] $\vec F_{+}+\vec F_{-}=0$ , т.е. ако:

n_{1}=\frac{n_{0}}{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)=\frac{n_{0}}{2}\left(1-\frac{2e_{0}U}{m_{0}c^{2}}\right)\approx 5\cdot10^{9}\ \mathrm{m^{-3}}.

II. Понеже $v\ll c$ действието на магнитната сила може да не се отчита. Разширението на снопа е малко в сравнение с разстоянието $L$ , на което става това разширение. Следователно ъгълът $\alpha\approx\operatorname{arctg}\frac{0{,}15\,d}{L}\ll 1$ [3т.] и можем да считаме, че векторът $\vec F$ остава постоянен. /виж фигурата/
Силата, с която снопът действа на един електрон от снопа на повърхността му има големина [4т.]

F=e_{0}E=\frac{n_{0}e_{0}^{2}d}{2\varepsilon_{0}}.

Ускорението, което тя му предава е: [1т.] $a=\dfrac{n_{0}e_{0}^{2}d}{2\varepsilon_{0}m_{0}}$ . Времето, за което ширината на снопа се увеличава с 30% е: [2т.]

\tau=\sqrt{\frac{0{,}3\,d}{a}}=\sqrt{\frac{0{,}6\,\varepsilon_{0}m_{0}}{n_{0}e_{0}^{2}}}.

Разстоянието, на което става това разширение е: [1т.]

L=v\tau=\sqrt{\frac{1{,}2\,\varepsilon_{0}U}{n_{0}e_{0}}}\approx 1{,}4\ \mathrm{m}

Решение: сечение на електронния сноп; проводник C със скорост V, електрон със скорост v, вектори −e₀E, r, −H, точки O и O'.

Решение, част II: разширение на снопа по дължина L; вектори F и F', ъгъл α, отклонение 0,15d.

Оригинал в Архива: proletni_2001_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2001_STsolutions.pdf